H-пространство и асимптотическое твисторное пространство

Предпринимались многочисленные попытки обойти каждую из отмеченных трудностей, но ни одна из них не привела к выделяемой единственным образом подгруппе Пуанкаре группы Наиболее интересная из этих попыток была сделана Ньюменом [216] (см. также работы [5, 122, 163]) и привела его к замечательной концепции -пространства. Основная идея такова: гиперповерхность комплексифицируют, т. е. заменяют гиперповерхностью позволив параметру и принимать комплексные значения (и соответственно заменив независимыми

комплексными параметрами , см. начало гл. 6, § 9), а затем определяют хороший срез условием как это делалось выше. Комплексификация параметра и позволяет избавиться от отмеченной выше трудности, но приводит к осложнению, связанному с тем, что «сопряженный сдвиг» а в общем случае не равен нулю. Полагая, что сдвиговая структура гиперповерхности обладает адекватной аналитичностью (т. е. допускает достаточно экстенсивную комплексификадию), точки -пространства можно по определению считать хорошими срезами в указанном выше смысле слова. Вспомним, что в случае пространства IV! действительные хорошие срезы гиперповерхности возникают из настоящих световых конусов, а значит, точно соответствуют точкам М; точно так же комплексные хорошие срезы комплексификации соответствуют точкам пространства Однако в случае произвольного (адекватным образом аналитического) пространства рассматриваемые -пространства (с ньюменовским замечательным определением метрики) оказываются общими голоморфно-римановыми самодуальными решениями вакуумных уравнений Эйнштейна; и это верно вне зависимости от того, выполняются в вакуумные уравнения или нет.

Существует тесная связь между описанной здесь конструкцией и теорией твисторов. В гл. 7, § 3 было показано [формула (7.3.1) и предложение (7.3.18)], что условия указывают на присутствие вполне изотропных комплексных 2-поверхностей («дуально-твисторных поверхностей»). В нашем случае геометрия ограничена на что условие отпадает и дуально-твисторные поверхности появляются только как комплексные одномерные кривые на комплексификации Эти кривые оказываются комплексными изотропными геодезическими на (при использовании конформной метрики пространства и называются твисторными (при ) и дуально-твисторными линиями (при ). Пространство [дуально-] твисторных линий на позволяет определить [дуальное] проективное асимптотическое твисторное пространство для [Дуально-] твисторные линии — это -кривые [или -кривые] введенные в гл. 7, § 4 при построении пространства проективных твисторов гиперповерхности. Таким образом, (проективные) асимптотические твисторы - это частные примеры (проективных) твисторов гиперповерхности, причем гиперповерхностью в данном случае является (В общем случае а- и p-кривые не являются комплексными изотропными геодезическими; это специфическое свойство именно комплексификации

Оказывается, что ньюменовские хорошие срезы комплексификации определяются одно (комплексно) параметрическим

семейством дуально-твисторных линий, дающим голоморфную кривую в дуальном асимптотическом твисторном пространстве. Таким образом, конструкция -пространств а оказывается аналогичной конструкции пространства на основе прямых линий в стандартной картине дуального проективного твисторного пространства (см. гл. 6, § 10; § 3 данной главы), к которой она (конструкция) даже сводится при Эта процедура служит примером (прототипом) так называемой «нелинейно-гравитационной» конструкции всех самодуальных решений вакуумных уравнений Эйнштейна [252, 267, 336, 13] (см. также работы которая сама была прообразом описанной в гл. 6, § 10 конструкции Уорда для случая самодуальных полей Янга — Миллса. Однако подробное обсуждение этих проблем увело бы нас далеко в сторону.