Понятие 1-функции

Отсюда следует, что нужно рассматривать не просто функции на , но функции по модулю функций, голоморфных на или на У. Другими словами, две функции на будут считаться эквивалентными, если они различаются суммой функций, которые допускают голоморфное продолжение либо на , либо на (Суть этого отношения эквивалентности в том, что интеграл от разности эквивалентных в таком смысле функций очевидным образом обращается в нуль в силу стягиваемости контура.) Например, функция, определенная соотношением (6.10.54), эквивалентна нулю. Указанные классы эквивалентности функций образуют первую группу когомологий голоморфных пучков по отношению к покрытию пространства Такие классы эквивалентности мы будем называть 1-функциями по отношению к покрытию При этом обычные функции мы будем называть -функциями.

Мы сразу же вынуждены распространить определение 1-функций на более сложные покрытия а затем и вовсе устранить зависимость от специального выбора покрытия. Ведь даже простейшая задача сложения 1-функций, определенных на разных парах покрытий приводит к рассмотрению 1-функций на общем подпокрытии [см. далее формулу (6.10.62)] этих покрытий. Поэтому мы будем рассматривать открытые покрытия пространства общего вида (открытыми множествами) с дополнительным ограничением локальной конечности покрытий, которое означает, что всякая точка принадлежит конечному числу покрывающих множеств. (Отметим, что некомпактные множества, такие, как допускают локально-конечные покрытия, содержащие бесконечное число множеств.) На рис. 6.13 показано покрытие пространства состоящее из большого даже, может быть, бесконечно большого) числа

Рис. 6.13. Покрытие пространства имеющее вид большого числа (которое может быть бесконечно большим) открытых множеств, образующих локально-конечную систему. Интегрирование проводится по разветвленному контуру.

открытых множеств Для такого покрытия потребуется ввести целое семейство голоморфных функций, определенных на пересечениях пар открытых множеств из этого набора:

Функция определена на пересечении

Далее, прямая будучи компактным множеством, пересекает локально-конечную систему только по конечному числу множеств так что лишь конечное число функций имеет непустое ограничение на Мы должны теперь обобщить интегральные формулы так, чтобы они были пригодны в рассматриваемой ситуациии. Наглядное представление об этой процедуре можно получить из рис. 6.13: мы переходим к интегралу по разветвленному контуру в виде сетки из отдельных ориентированных отрезков. Каждый отрезок принадлежит пересечению двух множеств покрытия, и соответствующий интеграл вычисляется от функции вида (6.10.56). Каждый отрезок начинается и оканчивается вершиной (если он не является замкнутой петлей), лежащей на пересечении трех множеств каждая вершина принадлежит трем и только трем отрезкам, а каждый отрезок — двум из трех указанных множеств. В силу свойств контурных интегралов результат интегрирования не изменится, если любой из отрезков деформировать непрерывно на заданном пересечении пары множеств при условии, что конечные точки остаются неподвижными (если все пересечения имеют евклидову топологию, то слово «непрерывно» можно опустить).

Чтобы рассматриваемый интеграл был определен однозначно, следует ввести два дополнительных требования к семейству функций Во-первых, поскольку интеграл вдоль данного отрезка можно вычислять в любом направлении, вклад в полный интеграл оказывается неопределенным и зависящим от этого выбора. Чтобы устранить эту неопределенность, будем считать, что знак функции изменяется, когда изменяется направление

Рис. 6.14. При интегрировании функции направление контура выбирается так, птобы множество оставалось слева, а множество справа. При интегрировании функции направление контура изменяется на обратное, так что результат не изменяется.

Рис. 6.15. Благодаря свойству коцнкличности (6.10.58) интеграл не изменяется, если вершину, в которой сходятся три отрезка контура, непрерывно смещать на пересечении

контура интегрирования. Это правило удобно записать, обозначая функцию взятую с обратным знаком, через

Правило выбора функции, отвечающей заданному направлению интегрирования, проиллюстрировано на рис. 6.14.

Второе требование к семейству функций должно избавить нас от необходимости располагать вершины на пересечении тройки множеств 41 неподвижно. Как видно из рис. 6.15, для этого нужно потребовать, чтобы функции на пересечении удовлетворяли условию

Всякое семейство функций определенных на пересечениях пар открытых множеств открытого покрытия удовлетворяющее условиям (6.10.57) и (6.10.58), называется 1-коциклом по отношению к данному покрытию. Хотя мы ввели коциклы в связи с контурными интегралами, это — более широкое понятие, которое возникает во многих математических построениях, не связанных с интегралами. Нам также потребуется ввести понятие 1-кограницы и определить факторпространство 1-коциклов по 1-кограницам. (Это приводит к обобщению ранее приведенного определения 1-функций на случай покрытия, состоящего только из двух множеств. Итак, 1-кограницей некоторого семейства функций (в данном контексте голоморфных) будем называть 1-коцикл, который можно представить в виде

где

причем в соотношение (6.10.59) входят ограничения функций на пересечение Очевидно, что 1-кограница удовлетворяет условиям 1-коцикла (6.10.57) и (6.10.58).

Определим теперь 1-функцию (или элемент первой группы когомологий) по отношению к выбранному покрытию как класс эквивалентности 1-коциклов. Два коцикла считаются эквивалентными, если их разность есть 1-кограница (всюду подразумевается, что фиксировано определенное покрытие Выгоды такого перехода к факторпространству 1-коциклов можно понять, возвращаясь к задаче вычисления контурных интегралов. Из рис. 6.16 интуитивно ясно (в предположении евклидовой топологии всех множеств 2), что интеграл от (голоморфной)

1-кограницы равен нулю.

Ранее мы упоминали, что переход к рассмотрению более сложных покрытий (чем покрытие, образованное только двумя множествами 41 и У) отчасти обусловлен желанием иметь возможность складывать 1-функции, определенные по отношению к различным покрытиям. Сейчас мы уже достаточно подготовлены, чтобы рассмотреть этот вопрос. Для удобства обозначим ограничение функции определенной на пересечении на подмножество через

Пусть теперь — два коцикла, определенные по отношению к покрытиям соответственно, на Определим покрытие которое назовем общим подпокрытием

Рис. 6.16. Когда выполняется условие кограницы, интеграл сводится к интегралу по набору стягиваемых замкнутых контуров и оказывается равным нулю.

покрытий

где I — собирательный индекс, заменяющий два независимых индекса (Аналогично мы будем обозначать через пару индексов Введем также обозначения

Легко видеть, что после перехода к подпокрытию кограница остается кограницей, а также выполняются условия коцикла (6.10.57) и (6.10.58) для функций в (6.10.63) (роль обычных индексов будут играть собирательные индексы). Однако может случиться так, что новые кограницы, возникающие в подпокрытии, приведут к такому расширению классов эквивалентности, что 1-функции, отличные от нуля в исходных покрытиях, окажутся равными нулю в подпокрытии. Относя 1-функции к подпокрытию, мы можем их складывать: сумме величин отвечает сумма Поскольку некоторые из 1-функций могут обращаться в нуль при переходе к подпокрытию, можно определить 1-функцию на всем пространстве (в данном случае на пространстве не зависящую от выбора покрытия, как прямой предел при переходе ко все более тонкому покрытию. (Проще говоря, это означает, что всякую 1-функцию можно представить с помощью 1-коцикла на некотором покрытии, но

чтобы выяснить, определяют ли два коцикла, взятые в одном и том же или в различных покрытиях, одну и ту же 1-функцию, нам, быть может, придется обратиться к подпокрытию этого покрытия.) Подводя итог всему изложенному, с учетом данного определения можно сказать, что твисторная волновая функция безмассовой частицы в состоянии с определенной спираль-ностью есть голоморфная однородная 1-функция в пространстве