Альтернативные выражения для массы Бонди — Сакса

Имеется много различных представлений величины (9.9.56), и одно из них будет рассмотрено в следующем параграфе. Но еще одно из них есть смысл рассмотреть здесь. Пусть мы выбрали так, что гиперповерхность является изотропной. Тогда, согласно формуле (9.8.29), мы имеем Из (4.12.32д) с учетом формулы (9.8.74) следует соотношение

Кроме того, согласно формуле (9.8.81), имеет место слабое равенство

Согласно этим выражениям, формулу (9.9.56) при можно интерпретировать следующим образом. Пусть наш срез гиперповерхности является предельным членом семейства замкнутых пространственноподобных 2-поверхностей полученных как пересечения изотропных гиперповерхностей с фиксированной изотропной гиперповерхностью . (Здесь - изотропная гиперповерхность, пересекающая Тогда оказывается, что в этом случае производная выражения

по при в точности равна энергии Бонди — Сакса [Это объясняется тем, что здесь и а 0.] Интеграл вида (9.9.59) уже кратко рассматривался в связи с формулами (4.14.41) и (4.14.45), где отмечалось, что он и конформно-инвариантен, и действителен. Из его действительности следует действительность выражения (9.9.56), так что первая тесно связана с формулами (9.9.48) и (9.9.20). Отметим также, что формулу (9.9.59) с помощью соотношений (4.14.20) и (4.14.44) можно записать в виде

и что в силу конформной инвариантности выражения (9.9.59) интеграл (9.9.60) можно переписать с помощью характеристик либо физической, либо нефизической кривизны. Если использовать физические величины, то при выполнении условий нормального убывания материальных полей члены, связанные с кривизной, исчезают и остается выражение

Отсюда следует, что темп стремления этого выражения на бесконечности к нулю тоже определяет массу Бонди — Сакса [123].

Норма для на J+

Мы вернемся к 4-импульсу Бонди — Сакса в следующем параграфе. И там будут приведены доводы в пользу того, что, если физический тензор энергии удовлетворяет на компактной пространственноподобной гиперповерхности, натянутой на соответствующему неравенству («условию энергодоминантности»), то величина -времениподобный вектор будущего (или равна нулю, если пространство-время всюду вдоль Ф плоское). Будем считать этот результат известным и воспользуемся

им, чтобы справиться с проблемой определения подходящей твисторной нормы для пространства

Для достижения этой цели предположим, что пространство на не плоское (иначе не о чем говорить, ибо никаких проблем с этим определением не возникает) и что, следовательно (при учете вышеуказанного предположения), на выделяется определенное единственным образом асимптотическое временное направление, а именно направление вектора Выберем такой конформный масштаб на чтобы метрика на сфере, принадлежащей была ассоциирована с этим конкретным направлением, т. е. такой, чтобы все величины соответствующие значению обращали выражение (9.9.56) в нуль. Тогда можно определить величину просто усредняя выражение (9.9.44) [т. е. выбирая часть с в выражении (9.9.44)]. Хотя такое определение не очень изящно, оно, по-видимому, не лишено логики в силу того, что постоянству выражения (9.9.44) препятствует в формуле (9.9.45) та же величина которая сейчас использована для фиксации масштаба, позволяющего преодолеть именно это препятствие. Правда, в одном случае входит мнимая часть, а в другом действительная. Полной ясности в этих вопросах все еще нет.

Структура точной последовательности для на

Полное определение твисторной нормы [т. е. комплексносопряженной операции (9.9.21)] нам необходимо по той простой причине, что в противном случае мы не можем должным образом интерпретировать оставшиеся компоненты «момента импульса» твистора Что мы, в сущности, установили в процессе получения формул (9.9.39) и (9.9.46), так это аналог короткой точной последовательности (6.5.28) для

где второе отображение представляет собой просто включение а третье — отображение фактор-пространства [формула (6.5.29)]. Как будет показано ниже, структура выражений (9.9.39) и (9.9.46) говорит о том, что определенное таким образом пространство может быть естественным образом отождествлено с пространством, комплексно-сопряженным пространству, дуальному (на что указывают обозначения). [Значение последовательности (9.9.62) для момента импульса сейчас станет ясным.]

Чтобы убедиться в том, что выражения (9.9.39) и (9.9.46) действительно имеют указанный выше смысл, мы обратимся сначала к формуле (9.9.46), но через посредство формулы

(9.9.47). Вспомним, что пространство определяется условием так что преобразованием (9.9.47) фактор-пространство е. пространство, в котором удовлетворяет условию (9.9.36) (1)] ассоциируется с пространством комплексно-сопряженным пространству Однако представляется несколько более естественным перейти к пространству, комплексно-сопряженному дуальному пространству

Это вполне законная операция, ибо формулы (9.9.39) и (9.9.46) на самом деле тоже позволяют ввести спинор

который, как мы знаем, устанавливает изоморфизм между и дуальным ему пространством. Чтобы получить спинор (9.9.63), заметим, что при условии эти твисторы можно, согласно формуле (9.9.46), представить в виде

Тогда, учитывая, что, согласно стандартной процедуре представления спинорной части твистора в плоском пространстве (как в М), имеет место равенство

где

мы можем воспользоваться правой частью равенства (9.9.65) в качестве определения спинора (9.9.63). Обращаясь к описанию на и используя (9.9.37) и (9.9.47), мы в случае

получим следующее выражение для величины

Легко видеть, что это выражение, подобно выражению (9.9.37), постоянно на . С помощью выражения (9.9.68) [равного выражению (9.9.65)] спинор можно определить как косое билинейное отображение

и тогда мы, как и требовалось, приходим к спинору (9.9.63).