Отношение группы БМС к импульсу и моменту импульса

Даже -пространство, будучи в общем случае пространством без симметрий, не ведет прямо к определению «группы симметрий» Пуанкаре для пространства Л. Различные другие предложения сводятся к следующему. Предположим, что излучение убывает достаточно быстро либо в направлении будущего вдоль образующих гиперповерхности либо в направлении прошлого. Зададим предельные (скажем, действительные) «хорошие срезы» гиперповерхности в соответствующем асимптотическом смысле условием или Тогда «хорошие срезы» в общем случае определятся БМС-трансляциями этих предельных срезов. Это и дает нам соответствующую (ограниченную) подгруппу Пуанкаре группы , хотя остается неприятная неоднозначность в выборе между -определением» и -определением». В общем случае эти две подгруппы не идентичны [219].

Серьезность этой неопределенности можно следующим образом продемонстрировать графически. Пусть имеется изолированная физическая система, первоначально достаточно близкая к стационарному состоянию, в котором сдвиговая структура ее гиперповерхности (скажем, при достаточно хорошо согласуется с аналогичной структурой пространства М, так что можно с необходимой степенью точности выделить единственную ограниченную подгруппу Пуанкаре как подгруппу группы , сохраняющую эту сдвиговую структуру. Допустим, что затем система в течение определенного периода, скажем в

Рис. 9.25. Изолированная гравитационная система испускает два импульса излучения. До этих импульсов, между ними и после них она находится в невозмущенном состоянии. В каждом из этих трех невозмущенных периодов естественным образом определяется подгруппа Пуанкаре группы БМС, но в общем случае эти три подгруппы в качестве общей имеют только подгруппу трансляций

интервале испускает (запаздывающее) гравитационное излучение, после чего следует еще один период покоя из, так что сдвиговая структура гиперповерхности опять достаточно близка к аналогичной структуре в пространстве М, вследствие чего адекватным образом выделяется вторая подгруппа Пуанкаре (рис. 9.25). Далее предположим, что система после этого еще раз испускает излучение прежде чем окончательно успокоится. В результате с соответствующей степенью точности выделяется третья подгруппа Пуанкаре 4 (при . В общем случае все три подгруппы и 4 различны и в качестве общей имеют одну лишь группу трансляций будучи сопряжены друг с другом нетривиальными супертрансляциями, как в формуле (9.8.68).

Указанная группа важна тем, что позволяет ввести физические концепции массы-энергии и импульса, ибо в случае пространства М именно векторы Киллинга, генерирующие трансляции, приводят к этим концепциям (см. гл. 6, § 5). Следовательно, неоднозначность в определении группы не влечет за собой сереьезных последствий для энергии-импульса. В следующем параграфе мы увидим, как определение Бонди — Сакса позволяет приписать системе вполне подходящие полные энергию и импульс, измеренные на произвольном срезе гиперповерхности Но даже это не позволяет нам избавиться от трудностей, связанных с группой БМС, ибо выше мы видели, что

нужно сравнивать эти величины на срезах, которые не обязательно являются трансляциями друг друга.

Что касается момента импульса, то здесь все осложняется, так как появляется потребность в генераторах «вращательных» элементов группы При переходе от к , а затем к 4 определение «бессупертрансляционного вращения» претерпевает некий «сдвиг». Поэтому при наличии гравитационного излучения и само определение момента импульса тоже должно, вероятно, претерпевать соответствующий «сдвиг». Мы вернемся к этому вопросу в следующем параграфе.