§ 7. Интегралы движения частиц; конформно-инвариантные операторы

Как мы видели в § 5, конформному вектору Киллинга заданному в пространстве-времени в случае любой непрерывно распределенной физической системы с бесследовым симметричным тензором энергии-импульса удовлетворяющим условию отвечает некая сохраняющаяся величина. То же самое справедливо и в случае системы пробных частиц в Мы предполагаем, что в промежутках между столкновениями пробные частицы движутся по геодезическим многообразиям а при столкновениях сохраняется 4-импульс. Уравнение геодезической имеет вид

где есть 4-импульс частицы; он определяется как вектор, касательный к мировой линии, и при движении переносится вдоль нее параллельно.

Имеем

где предполагается, что либо — вектор Киллинга (и тогда с учетом симметрии по можно переписать в симметризованном виде, откуда следует, что последнее слагаемое равно нулю), либо — конформный вектор Киллинга и — изотропный вектор (так что последнее слагаемое вновь обращается в нуль, будучи пропорциональным . В обоих случаях вдоль мировой линии каждой частицы сохраняется величина

Если в столкновениях частиц сохраняется сумма их импульсов, то благодаря линейности выражения (6.7.3) по импульсу сохраняется и сумма соответствующих величин Таким образом, мы получаем закон сохранения: полный поток величины через границу компактного 4-объема равен нулю. Следовательно, ситуация аналогична (и по существу тождественна) случаю непрерывно распределенных физических систем.

Полиномиальные интегралы движения; спиноры Киллинга

Величина (6.7.3) допускает обобщение на нелинейные выражения вида

где без потери общности тензор можно считать симметричным:

Обобщение первого из условий, при которых имеет место равенство (6.7.2), запишется в виде

Тензор удовлетворяющий условиям (6.7.5) и (6.7.6), часто называют тензором Киллинга; мы здесь тоже будем пользоваться этим термином (хотя иногда его употребляют применительно к другому объекту; см. формулы (6.7.19) и (6.7.20) ниже]. В отличие от вектора Киллинга тензор Киллинга не допускает простой геометрической интерпретации. Но если величина имеет тот же смысл, что и выше, то из уравнений (6.7.1) и (6.7.6) находим

Таким образом, величина сохраняется вдоль мировой линии каждой из частиц в промежутке между столкновениями. Но

вследствие нелинейного характера зависимости от полная величина не сохраняется в процессе столкновения.

Чтобы получить обобщение второго из условий, при которых выполняется равенство (6.7.2), положим

для некоторого тензора Тогда в случае изотропного вектора имеют место преобразования вида (6.7.7). На основании равенства (6.7.8) заключаем, что бесследовая симметричная часть тензора равна нулю; стало быть, вспомнив сказанное в конце гл. 3, § 3 [формулы (3.3.58) — (3.3.60)], можно следующим образом переписать соотношение (6.7.8) в спинорной форме:

Не теряя общности, можно принять, что спинор симметричен по группам индексов при этом выражение (6.7.4) не изменяется, если — изотропный вектор (т. е. если —вида Отметим, что, хотя уравнение (6.7.9) справедливо теперь не только в плоском пространстве, оно может служить примером уравнения вида (6.1.62) [см. также формулу (6.4.11)], решением которого в плоском пространстве будет спинор имеющий смысл главной части бесследового симметричного твистора. В частном случае, когда присутствует только один штрихованный и один нештрихованный индекс (не обязательно в плоском пространстве), мы имеем конформное уравнение Киллинга (6.1.70). В формуле (6.7.9) число штрихованных и нештрихованных индексов одинаково, но возможно дальнейшее обобщение на случай, когда эти числа не равны. Пусть — симметричный спинор, такой, что

причем имеет нештрихованных и штрихованных индексов. В этом случае мы получаем обобщение не только уравнения (6.1.70), но также уравнения (6.1.69) и расширенного варианта — уравнения (6.4.1). Величину иногда называют спинором Киллинга, и мы здесь тоже принимаем эту терминологию. Если вектор — изотропный и ориентирован в будущее, т. е. имеет вид произведения а величина определена соотношением

то в силу формулы (6.7.10) выполняется равенство

при условии, что параллельный перенос вектора сопровождается параллельным переносом полотнища флага спинора

При в случае эрмитова спинора мы возвращаемся к уравнению (6.7.7): величина действительна и сохраняется вдоль геодезических мировых линий. При величина существенно комплексна; она несет информацию о направлении полотнища флага Замена

индуцирует преобразование

Таким образом, будет величиной с определенным, спиновым весом, если рассматривать как базисный спинор [формула (4.12.9) и далее].

Иногда спинор удовлетворяющий уравнению (6.7.10), известен как явная функция точки пространства-времени. При он дает «первый интеграл» уравнения изотропных геодезических и, таким образом, оказывается полезным для интегрирования этих уравнений. Аналогично величина, удовлетворяющая уравнению (6.7.6), дает «первый интеграл» уравнения геодезических, которые не обязательно предполагать изотропными. Метрика тождественно удовлетворяет уравнению (6.7.6). Таким образом, если мы найдем еще три «первых интеграла», то получим Ьистему величин, позволяющих определить явный вид геодезических в четырехмерном пространстве с точностью до квадратур. (Вскоре мы покажем, что требуемые три интеграла существуют, например, для решения Керра.) Если мы нашли величину с удовлетворяющую уравнению (6.7.10), то имеем информацию, позволяющую определить, как изменяются плоскости поляризации вдоль изотропных геодезических. Так, если величина известна в двух точках изотропной геодезической у, то мы можем сразу же (без интегрирования) предсказать результат параллельного переноса полотнища флага спинора из первой точки во вторую вдоль у: при параллельном переносе величина должна принимать одинаковые значения в этих точках. Отметим, что из мы тоже получаем действительный «первый интеграл» при а именно модуль который определяется через величину ассоциированную с решением уравнения (См. работу [354].)