§ 3. Бессдвиговые конгруэнции лучей

Изотропную конгруэнцию, т. е. изотропное векторное поле (или ассоциированное с ним поле спин-векторов), которое является геодезическим, а также характеризуется нулевым сдвигом, будем называть бессдвиговой конгруэнцией (БСК). Условия «бессдвиговости» конгруэнции таковы:

БСК играют важную роль в теории относительности. Они возникают в связи с решениями безмассовых полевых уравнений и особенно важны в теории твисторов. Здесь мы в основном остановимся на связи БСК с безмассовыми полями. В § 4 мы проиллюстрируем роль БСК в теории твисторов и помимо прочего покажем, как можно использовать твисторы, чтобы получать БСК общего вида в пространстве Минковского (теорема Керра). Здесь же можно отметить, что всякое спинорное поле которое удовлетворяет твисторному уравнению (6.1.1), автоматически удовлетворяет условию БСК (7.3.1); другими словами, конгруэнции Робинсона являются БСК (см. с. 76).

Связь с ГИН; вполне изотропные комплексные 2-поверхности

Сначала отметим два результата предварительного характера, касающихся БСК. В качестве альтернативной формулировки утверждения (7.2.14) имеем

т. е. , что, разумеется, очевидно уже из уравнений (7.2.12). Если дополнительно как, например, в плоском пространстве или в пространстве Эйнштейна, то остаются в силе вычисления, приводящие к формулам (7.2.23). Напишем результат для случая

В частности, замечаем, что если поле есть БСК, то

Напомним, что безмассовыв поля со спином описываются симметричными спинорами валентности 0], так что имеет место каноническое разложение (3.5.18):

Если два или более ГИН спинора (т. е. направления флагштоков спиноров ) совпадают, то поле называется алгебраически специальным («вдоль» кратных Если все ГИН совпадают то поле называется изотропным («вдоль» совпадающих ГИН). Напомним, что, как следует из соотношения (3.5.29), в случае электромагнитного поля изотропность эквивалентна обращению в нуль комплексного скалярного инварианта:

(т. е. двух его действительных скалярных инвариантов). Соответствующие условия для случая, когда спин равен 2, будут приведены в формуле (8.6.3). ГИН спинора называются гравитационными главными изотропными направлениями (ГГИН).

Из (3.5.26) следуют два предложения:

Как явствует из этих предложений, алгебраически специальные и изотропные поля тесно связаны с БСК. Предположим, что спинор удовлетворяет уравнению (4.14.42) для свободного безмассового поля.

Предложение

Если выполняется уравнение и спинор является алгебраически специальным вдоль , то (в области, где поле есть БСК.

Доказательство. Рассмотрим открытую область, в которой будет -кратным ГИН спинора (границу между такими областями мы не рассматриваем; условие БСК продолжается по непрерывности). В силу предложения (3.5.26) имеем

где спинор встречается раз, тогда как в уравнении [формула (3.5.24)]

где левая часть содержит множителей а правая таких множителей. Дифференцируя равенство (7.3.10) и выполняя свертку по индексу (эта операция определена, так как получаем

с учетом равенства (7.3.11). Поскольку имеем равенство

и, сравнив его с (7.3.1), получаем требуемый результат (см. также работы [203, 188, 156]).

Мы увидим также, что при справедиво утверждение, обратное предложению (7.3.9) (теорема Робинсона [294]: есть существует такой спинор . В случае когда оно справедливо лишь при дополнительных жестких ограничениях на кривизну, которые следуют из соотношений Бухдала — Плебаньского (5.8.2) и составляют содержание следующего предложения.

Предложение

Если безмассовое свободное поле со спином изотропно вдоль , то спинор Вейля будет алгебраически специальным вдоль (в области, где ).

Доказательство. Полагая в (5.8.2) и

получаем

откуда в силу предложения (3.5.15) находим

В силу этого равенства требуемый результат следует из (7.3.7) при

Теперь можно сформулировать утверждение, обратное предложениям (7.3.9) и (7.3.13).

Теорема [294, 316]

Если поле векторов определяет БСК и аналитично, то существует ненулевое решение уравнений Максвелла которое изотропно вдоль ; кроме того, если спинор Вейля является алгебраически специальным вдоль , то при всех значениях спина существует ненулевое симметричное решение уравнения изотропное вдоль . В обоих случаях произвол в выборе решения параметризуется одной голоморфной функцией двух комплексных переменных.

Прежде чем перейти к доказательству [которое мы проводим, следуя Соммерсу [316], по аналогии с рассуждениями, идущими после равенства (7.3.22)], рассмотрим некоторые леммы о свойствах БСК. Они оказываются важными в другом контексте и имеют отношение к задаче построения точных решений уравнений Эйнштейна, а также к теории твисторов. Первая лемма фактически та же, что и в работе [294] [если спинор удовлетворяет уравнению (7.3.14), то последнему удовлетворяет и величина

Лемма

Пусть — аналитическая БСК. Тогда существуют функционально независимые комплексные скаляры такие, что

и всякое решение со уравнения является голоморфной функцией величин и

(В качестве важного приложения этого результата отметим, что из мнимых и действительных частей величин можно выбрать три удобные координаты в «привязанные» к БСК. Все они постоянны вдоль лучей БСК, а потому четвертая координата должна быть введена иным способом. Отметим, что градиент каждой из величины имеет вид а поэтому в любой точке можно образовать линейную комбинацию

градиентов, равную В конце данного параграфа мы покажем, что можно выбрать естественным образом, если пространство вакуумное.)

Доказательство. Сначала комплексифицируем пространство позволив координатам принимать комплексные значения в открытых аналитических множествах. Поскольку все рассматриваемые величины аналитичны, мы получаем (при достаточно малых мнимых частях координат) комплексное многообразие с голоморфной метрикой и голоморфным полем БСК [Напомним, что при «комплексификации» величин, которые и так уже комплексны, мы рассматриваем комплексно-сопряженные им величины как независимые; см. текст после формулы (6.9.1)

Далее мы вводим аналитический спинорный базис на и считаем его тоже комплексифицированным, так что он будет голоморфным на Рассмотрим теперь голоморфные векторные поля

Мы хотим показать, что существует комплексно-двухпараметрическое семейство комплексных 2-поверхностей таких, что поля являются касательными к ним. В этом случае, выбирая в качестве параметров, постоянных на каждой поверхности 2, величины имеем , откуда следует лемма (7.3.15). Необходимое и достаточное условие, при котором и V связаны с системой 2-поверхностей, указано в следующей лемме [165].

Лемма

Доказательство: следовательно, в силу условия Из последнего равенства заключаем, что коммутатор имеет вид где — некоторый голоморфный спинор, и, следовательно, должен быть голоморфной линейной комбинацией полей и V, что и требовалось доказать.

Тем самым мы доказали следующее предложение.

Предложение

Аналитическое поле есть БСК при том и только при том условии, что все векторы вида (где поле аналитически продолжено на ) являются

касательными к некоторому комплексно-двухпараметрическому семейству комплексных 2-поверхностей в

Это, по-видимому, основное свойство поля удовлетворяющего условию

В этой связи нам потребуются еще две леммы.

Лемма

Система дифференциальных уравнений [формула (4.1.40)], где — поля на интегрируема, если где — те же величины, что и в формуле (7.3.17).

Доказательство. Это стандартный результат [165]. Ход рассуждений таков: интегрируем уравнение на некоторой линии, принадлежащей 2-поверхности ; затем продолжаем решение вне линии в направлении V, решая уравнение Если то имеем

откуда на . (Эти рассуждения носят локальный характер и могут быть неверными для семейства в целом.)

Лемма

Уравнение интегрируемо относительно (комплексного) х (для аналитической если Общее решение, отвечающее данному частному решению имеет вид: где — голоморфная функция, а — такие же, как в лемме (7.3.15).

Доказательство. Условие интегрируемости этого уравнения в компонентах, отнесенных к базису , то же, что и в лемме (7.3.19) при Таким образом, аналог условия интегрируемости (7.3.19) имеет вид

где X и удовлетворяют уравнению

Сворачивая это уравнение с и сравнивая результат с (7.3.21), находим

что после некоторых преобразований приводит к искомому условию интегрируемости. Относительно общего решения см. лемму (7.3.15).

Теперь мы можем доказать теорему (7.3.14). Пусть есть заданная БСК. Нам потребуется отличное от нуля решение безмассового полевого уравнения вида т. е.

где определяется как коэффициент пропорциональности в уравнении

которое получается из (7.3.1). Таким образом, требуется решить уравнение

Подставим его правую часть вместо в условия интегрируемости леммы (7.3.20). Используя уравнение (7.3.24), после некоторых преобразований приведем полученное уравнение к виду

Чтобы проверить, выполняются ли эти условия интегрируемости, удобно воспользоваться следующим представлением входящих сюда величин (Соммерс):

Выражение (7.3.27) получаем следующим образом:

где использовано уравнение (7.3.24), а на последнем шаге — уравнение (4.9.15). Чтобы получить выражение (7.3.28), возьмем производную обеих частей последнего равенства в формуле

С учетом формулы (2.5.23) и (4.9.15) первое слагаемое во второй строке может быть записано в виде

Аналогично соотношению (7.3.24) введем величину с помощью первого из следующих равенств:

Таким образом,

Тогда последнее слагаемое в уравнении (7.3.29) преобразуется к виду

В силу равенства (7.3.29) сумму в правых частях равенств (7.3.30) и (7.3.33) можно положить равной нулю, а отсюда следует выражение (7.3.28). Теперь с учетом равенств (7.3.27) и (7.3.28) условие интегрируемости (7.3.26) непосредственно преобразуется к виду

чем доказывается основная часть предложения (7.3.14). Оставшаяся часть, а именно степень произвола в выборе решения, может быть установлена с помощью леммы (7.3.20): к [формула (7.3.25)] можно добавлять любую голоморфную функцию величин со 1 и а следовательно, саму функцию можно умножать на такую функцию.