Положительно-частотные поля

Рассматривая вектор как комплексный с времениподобной мнимой частью, мы можем добиться, чтобы выражение (6.10.46) было несингулярно при любых действительных значениях вектора Если времениподобная мнимая часть вектора ориентирована в будущее, то из утверждения, которое мы докажем позднее [предложение (9.3.24)], следует, что принадлежит подпространству (пространства которое получается

из пространства твисторов удовлетворяющих неравенству (Аналогично мы определяем пространства например: при том и только при том условии, что Все пары пространств комплексно-сопряжены друг другу.) В этом случае поле хорошо определено во всех точках где вектор содержит времениподобную мнимую часть, ориентированную в прошлое. [Поскольку в этом случае мы имеем где и действительные векторы, причем времениподобный вектор, ориентированный в будущее. Величина может обращаться в нуль только при условии, что но отсюда следует, что — пространственноподобный вектор, а значит,

Точки в радиус-векторы которых имеют времениподобную мнимую часть, ориентированную в будущее, составляют область, называемую трубкой будущего в Положительно-частотные поля можно определить как поля, допускающие несингулярное голоморфное продолжение в эту область. (В гл. 5, § 7 у нас было другое определение положительно-частотного поля, основанное на его фурье-разложении; можно показать, что оба этих определения эквивалентны В соответствии с таким определением поле будет положительно-частотным, если Трубке будущего в отвечают линии подпространства (определенного выше), что тоже вытекает из предложения (9.3.24). С этой точки зрения ясно, что поле будет несингулярным только при условии так как тогда точка не может совпадать с точкой и интеграл будет хорошо определен.

В твисторной теории необходимо определить понятие положительной частотности в приложении к твисторным волновым функциям. Из выкладок (6.10.43) — (6.10.46) видно, что если функция голоморфна в трубке будущего то волновая функция не может быть голоморфной на всем пространстве (Из теории функций комплексной переменной следует [116, 89], что однородными функциями, голоморфными на всем пространстве могут быть только полиномы по , стало быть, степень однородности таких функций неотрицательна; и этот случай тривиален, так как соответствующие интегралы равны нулю.) Рассмотренный пример показывает, что следует потребовать, чтобы сингулярности функции располагались в двух областях, которые пересекались бы всеми линиями пространства и тогда, как и на рис. 6.11, риманова сфера, отвечающая прямой содержала бы сингулярности тоже в двух раздельных областях, между которыми проходит контур

Рис. 6.12. Вид сингулярностей твисторной функции, которая дает положительно-частотное поле. Сингулярности в имеют вид двух несвязных замкнутых множеств.

интегрирования. Это замечание остается в силе, если мы рассматриваем поля, определенные на произвольных открытых подмножествах пространства Точкам области отвечает семейство линий в которое заполняет некую открытую область в Мы не требуем, чтобы соответствующая твисторная функция была голоморфной на всей области такое требование было бы слишком жестким и не привело бы к полезным результатам.

Имеется много твисторных функций с областями сингулярностей, необходимыми для существования положительно-частотных полей. Например, можно воспользоваться прямым обобщением формулы (6.10.43)

Если линейно-независимы и то эта функция дает положительно-частотные поля, называемые элементарными состояниями. Их спиральность равна

причем — неотрицательные целые числа. Выражения для полей аналогичны выражению (6.10.46), но более сложны.

Можно также взять сумму твисторных функций вида (6.10.48) с разными значениями при условии, что А-син-гулярности и В-сингулярности разделяются так, чтобы в получались области требуемого вида. Дальнейшее обобщение состоит в «суммировании» непрерывного семейства выражений вида (6.10.48) (т. е. в интегрировании по некоторым параметрам), что возможно, если области заполненные сингулярностями типа А и В, соответственно, не пересекаются в

В этом случае сингулярности на римановой сфере не обязательно будут полюсами, но могут иметь вид протяженных замкнутых (непустых) областей на сфере (рис. 6.12).