7. Изотропные конгруэнции

§ 1. Изотропные конгруэнции и спиновые коэффициенты

Конгруэнции изотропных линий в пространстве-времени (в дальнейшем именуемые изотропными конгруэнциями), и особенно конгруэнции лучей (изотропных геодезических), играют важную роль в теории электромагнитного и гравитационного излучения, а также при построении точных решений уравнений Эйнштейна. Напомним, что конгруэнцией называется семейство линий, поверхностей и т. обладающее тем свойством, что через каждую точку рассматриваемой области пространства проходит один и только один элемент этого семейства. (Пространство элементов, касательных к конгруэнции, называют слоением [127].) Но, поскольку все вычисления, рассматриваемые в данной главе, носят локальный характер в пространстве-времени, требование взаимно-однозначного соответствия элементов конгруэнции всем точкам пространства-времени здесь несущественно. Изотропные конгруэнции часто оказываются глобально многолистными; это означает, что при возврате по замкнутому контуру в пространстве-времени в исходную точку ассоциированная линия конгруэнции не возвращается к первоначальному положению. Однако данное обстоятельство не может сказаться на результатах нашего локального анализа. Кроме того, конгруэнция может содержать особые точки (такие, как точки ветвления и «источники» мировых линий, служащие началом семейства расходящихся линий). Будем считать, что в рассматриваемой области нет таких сингулярностей. Мы здесь исследуем геометрические свойства изотропных конгруэнций, многие из которых тесно связаны с описанием физических явлений. При этом в значительной мере будет использоваться формализм спиновых коэффициентов в его исходной (а также модифицированной) формулировке.

Конгруэнцию линий можно задать, указав в пространстве-времени (или на открытом подмножестве последнего) поле векторов , касательных к линиям Линии будут интегральными кривыми поля . Выбрав для каждой кривой конгруэнции подходящий параметр и, можно задать «масштаб»

(scaling) векторов соотношением

Тогда производная по параметру и от любой гладкой скалярной функции определенной вдоль кривых записывается в

Если в координатах на уравнения кривых имеют вид

где — параметры, «маркирующие» отдельные кривые конгруэнции, а — параметр, «маркирующий» точки одной кривой, то имеем

Мы будем рассматривать только изотропные конгруэнции, т. е. такие, которые характеризуются условием

Параметр и выбирается так, чтобы вектор был ориентирован в будущее и нигде не обращался в нуль. С вектором стандартным образом ассоциируется спин-вектор

причем ориентацию полотнища флага мы пока что считаем произвольной.

Изотропные геодезические; интерпретация спиновых коэффициентов

Конгруэнция является геодезической (т. е. всякий ее элемент является геодезической), если векторы переносятся параллельно вдоль кривых конгруэнции:

Если к тому же выполняется равенство

то параметр и называется аффинным. Такая параметризация всегда возможна при условии (7.1.6). В этом случае, определяя [формула (4.5.23)], имеем

Если же выполняется и условие (7.1.7) (и только при этом условии), спинор можно выбрать так, чтобы он удовлетворял уравнению

С геометрической точки зрения это означает, что не только флагштоки, но и полотнища флагов параллельны вдоль кривых (см. гл. 3, § 2 и гл. 4, § 4 относительно геометрической интерпретации спин-векторов).

Отметим, что условие геодезичности (7.1.8) эквивалентно условию

т. е. [формула (4.5.21)] равенству

Таким образом, параметр х можно рассматривать как меру кривизны каждой из линий конгруэнции Однако в силу конформного поведения величины к (имеющей определенный спиновый и бустовый вес)

фактическое значение (если не считать случая не имеет геометрического смысла для линии без заданного на ней масштаба (unsealed). Только в случае линии с заданным масштабом (scaled), т. е. линии с выбранным гладким семейством касательных векторов в каждой ее точке, или, что эквивалентно, линии с выбранным параметром и, фиксированным с точностью до константы модуль величины к приобретает инвариантный смысл. В самом деле, в этом случае, какова бы ни была гладкая положительная функция на скажем при масштабном преобразовании (7.1.12) имеем

Заданием масштаба (scaling) на посредством 1а или и исключается всякое масштабное преобразование спинора кроме такого, при котором Необходимость выбора масштабного преобразования для (вместо задания некоего канонического масштабного преобразования) обусловлена, разумеется, изотропным характером этой линии, а именно отсутствием параметра типа собственной длины или собственного времени, на который можно было бы нормировать векторное поле . Чтобы приписать смысл величине необходимо не только задать масштаб на но и фиксировать положение полотнища флага в каждой точке этой линии. К вопросу о геометрической интерпретации величины и других спиновых коэффициентов мы вернемся чуть позднее.

Предположим, что геодезическая конгруэнция. Это означает, что выполняется условие (7.1.8), которому эквивалентно, как мы видели выше, условие (7.1.11)

а стало быть, и все следующие равенства:

где — некоторые коэффициенты пропорциональности. Последние совпадают со спиновыми коэффициентами, определенными в формуле (4.5.21) (для а это справедливо только при дополнительном условии, что величина действительна). Это можно показать, выполнив в каждом из уравнений свертку со спинорами соответственно.. Для простоты в дальнейшем мы будем полагать, что спиноры образуют спиновую систему отсчета, т. е. выполняется условие

и, следовательно, имеют место соотношения (4.5.29).

Отметим, что в формулы для величин и а не входит И, поскольку Таким образом, эти величины полностью определяются геометрией поля

Как явствует из сравнения соотношений (7.1.15) и (7.1.9), для того чтобы геодезическая конгруэнция допускала аффинную параметризацию, а полотнище флага переносилось вдоль нее параллельно, необходимо и достаточно условия

Условие одной лишь аффинной параметризации таково:

[формулы (7.1.7), (4.5.21)]. Условие же одного параллельного переноса полотнищ флагов имеет вид равенства

Последнее означает, что за счет масштабного преобразования спинора

(с действительным множителем ) можно добиться того, чтобы выполнялось равенство ценой изменения лишь протяженности флагштока.

Для дальнейших ссылок соберем все полученные результаты в следующей таблице:

Последнее условие получается, если перейти к диадным компонентам в левой части и затем воспользоваться таблицей (4.5.21). Из первого условия и формулы (5.6.28) следует, что лучи конформно-инвариантны.

Из уравнения (7.1.14), а также из результатов гл. 3, § 2 следует, что величина есть мера возрастания протяженности флагштоков спинора вдоль конгруэнции, а — мера поворота его полотнища флага в положительном направлении при смещении вдоль конгруэнции.

Теперь можно дать геометрическую интерпретацию коэффициента х в случае, когда конгруэнция не обязательно геодезическая. Благодаря изотропности вектора его производная ортогональна ему. Таким образом, имеем

так как из (4.5.22) следует, что

Отсюда, между прочим, получаем полезное соотношение

Как нетрудно видеть, путем соответствующего изменения масштаба на можно добиться, чтобы коэффициент в был равен нулю. (С геометрической точки зрения это означает, что мы выбираем спиноры И параллельными вдоль Поэтому первое слагаемое в правой части равенства (7.1.23) не связано с геометрическими характеристиками конгруэнции Следовательно, поворот линий конгруэнции определяется величиной — Нам будет удобно описывать геометрию конгруэнции используя плоскость П, натянутую на действительную и мнимую части вектора та. Ее можно рассматривать как плоскость Арганда комплексной переменной где X и Y — координаты тетрады Минковского, ассоциированной

с диадой [формула (3.1.20)]. Произвольный вектор на плоскости П записывается в виде

Вектор для которого характеризует вращение касательного вектора , если [формула (7.1.23)]. Следовательно, модуль вектора равный есть мера кривизны линии, тогда как характеризует направление кривизны по отношению, скажем, к т. е. к полотнищу флага спинора (см. рис. 1.17).