Сдвиговая структура гиперповерхности J+

Из сказанного следует, что, имея дело с групповой структурой одной лишь группы , невозможно единственным образом выделить ограниченную группу Пуанкаре как подгруппу. (И проблема, как мы видели, не в том, чтобы отличить трансляции от супертрансляций, а в том, чтобы выяснить, что следует понимать под «бессупертранляционным» лоренцевым поворотом.) В случае пространства М на гиперповерхности есть некая дополнительная структура, а именно определение «хорошего среза», который позволяет выделить единственную подгруппу Ф. Напрашивается вывод, что для получения подходящего единственного аналога подгруппы 9 в случае искривленного пространства следовало бы и здесь ввести соответствующее понятие «хорошего среза».

Однако при этом возникают серьезные трудности. По ряду причин не годится брать в качестве хороших срезов просто пересечения настоящих световых конусов в (Например, вследствие вида каустик и областей пересечения на конусе такие «срезы» вовсе не обязаны быть сечениями гиперповерхности и даже те из них, которые являются ими, в общем случае не преобразуются друг в друга в соответствии с подгруппой группы Я.) Правильнее было бы принять определение, «локальное» на (а следовательно, полностью асимптотическое в Ж). В пространстве М световые конусы (будущего) выделяются по признаку их расходимости и равенства нулю сдвига (см. гл. 7, § 1). Значит, в пространстве М, чтобы установить, что срез

хороший, нужно лишь исследовать сдвиг на самом срезе. Полагая флагштоки спинора о ортогональными срезу (как это имеет место в стандартной трактовке пространственноподобных 2-поверхностей, данной в гл. 4, § 14), можно вычислить а на срезе, и если обнаружится, что всюду на этом срезе, то можно утверждать, что это хороший срез.

Такой подход допустим не только в пространстве но и в некоторых других пространствах-временах особенно если они стационарны. Однако при наличии гравитационного излучения возникают трудности фундаментального характера. Чтобы выяснить, как это происходит, нужно вывести еще ряд формул. Для начала предположим, что имеется гладкая координата и на которая соответствующим образом возрастает на образующих этой гиперповерхности, но не обязательно является параметром времени Бонди. Выберем -флагштоки так, чтобы они, как и выше, были ортогональны срезам Тогда (если и — величина типа имеем

Применив к и коммутатор (4.12.34), мы с учетом условий (9.8.25) получим слабое равенство

которое в силу равенства (9.8.69) сводится к формуле

Далее будем считать, что выполняются условия (9.8.33). Тогда условие (9.8.30), гарантирующее, что и — координата времени Бонди (ассоциированная с выбранным для масштабом), приводится к виду что вместе с (9.8.28) позволяет свести слабое равенство (9.8.70) к виду

[Этот вывод частично обратим: если выполняется условие (9.8.71) и предполагаются справедливыми условия (9.8.33), то и является функцией такого рода ассоциированной координаты времени Бонди, так что и последняя и первая будут постоянными на одних и тех же срезах.] Будем называть о-флагштоки, связанные указанным способом с параметром времени Бонди, ассоциированным с выбранным масштабом для гиперповерхности системой Бонди. Тогда справедливо следующее предложение.

Предложение

Условием существования системы Бонди является слабое равенство

Уравнение (4.12.32 д) дает

где

есть комплексная функция новостей Бонди — Сакса, очень важная связь которой с потоком энергии гравитационного поля будет рассматриваться в § 9. В системе Бонди соотношение (9.8.73) принимает вид

Вспомним, что как часть сильного асимптотического эйнштейновского условия для пространства должно выполняться слабое равенство

т. е.

В результате из формул (4.12.32а) и (4.12.32г) следует, что

Теперь нам потребуются тождества Бианки на Принимая во внимание, что поле со спином 2

является гладким класса на [при наших начальных предположениях на ; см. теорему (9.6.41)], получаем

[формула (9.6.42)]. С учетом равенств (9.8.77) это дает

(тогда как Следовательно, принимая во внимание (4.12.39), получаем

Кроме того, воспользовавшись комбинацией соотношений (4.12.38) +(4.12.41)+(4.12.38) и замечая, что, согласно формуле » можно получить слабое равенство

Нас также интересует обобщение равенства (9.8.83), которое получается, когда предполагается выполненным только условие а второе условие (9.8.33) не привлекается. Следовательно, на выполняется такое масштабное преобразование, что срезы этой гиперповерхности изометрически отображаются

друг на друга ее образующими, но не обязательно являются метрическими сферами. В результате получается слабое равенство

где

Согласно формуле (4.14.20), эта действительная величина К представляет собой половину гауссовой кривизны срезов. Пока что мы положим и тогда соотношение (9.8.84) сведется к (9.8.83).

Затем, вычитая (4.12.37) из комплексно-сопряженного ему выражения, мы получаем

тогда как из формулы (4.12.32г) следует, что

При выводе формулы (9.8.87) использовалось равенство

в котором [формулы (4.14.2) и (7.1.58)] выражается то обстоятельство, что элементы 2-плоскостей на ортогональные о-флагштокам, являются поверхность-образующими (а именно касательны к срезам ). Кроме того, в силу формулы (4.12.35) и действительного характера величины К величина тоже действительна, так что, подставив (9.8.87) в (9.8.86), мы получим условие действительности

которое нам понадобится в § 9.

Между прочим отметим, что приведенная в (6.8.17) форма тождеств Бианки

позволяет получить слабое равенство

из которого следует много других выражений для [С его помощью можно дать другой вывод соотношений (9.8.82), (9.8.84) и (9.8.86), хотя это и не тривиально; в этой связи отметим, что соотношения (9.8.78) и (9.8.85) можно скомбинировать в одно соотношение

Наибольший интерес для нас сейчас представляют соотношения (9.8.82) и (9.8.75), которые вместе означают, что в

системе Бонди мы имеем

Согласно сказанному в § 7, величина на является мерой уходящего гравитационного излучения (т. е. это физического поля вейлевой кривизны). Таким образом, одно из следствий соотношения (9.8.91) таково: когда имеется уходящее гравитационное излучение, невозможно сохранить условие «хорошего срезам во всей системе Бонди. Суть системы Бонди состоит в том, что все срезы являются трансляциями во времени относительно фиксированного «временного направления» (а именно такого, которое определяется выбором масштаба единичной сферы срезов) наперед заданного среза (скажем, среза, соответствующего значению параметра Здесь в сущности обнаруживается, что трансляция хорошего среза — в общем случае плохой срез. (Термин «трансляция» в данном контексте означает, что второй срез — это БМС-трансляция первого, но само пространство-время, включая при этом не движется.)

Таким образом, в системе с уходящим гравитационным излучением гиперповерхность обладает «структурой хорошего среза», которая отличается от аналогичной структуры для пространства М, и мы уже не можем использовать методы, развитые ранее для выделения частной ограниченной подгруппы Пуанкаре группы . Более подходящей «структурой хорошего среза» для является сдвиговая структура, которая любому срезу гиперповерхности ставит в соответствие —-скалярную функцию а, определенную на этом срезе. Такая сдвиговая структура на одну ступень более «внутренняя», чем сильная конформная геометрия гиперповерхности (хотя, что называть «внутренним» или «внешним», особенно в случае изотропной гиперповерхности, это в известной степени вопрос соглашения [247]). Ибо она относится к сдвигу на изотропных гиперповерхностей в Из сказанного следует, что сдвиговая структура гиперповерхности пространства М отличается от сдвиговой структуры такой гиперповерхности в общем пространстве Фактически сдвиговая структура гиперповерхности эквивалентна (по модулю, самое большее, двух постоянных интегрирования на каждой образующей гиперповерхности информации об уходящем гравитационном излучении. Подгруппа группы 38 в случае пространства М является группой, сохраняющей в дополнение к сильной конформной геометрии гиперповерхности ее сдвиговую структуру. В случае произвольного пространства в котором поле лишено симметрий на ими не обладает и сдвиговая структура гиперповерхности Так что мы вернулись туда же, где были в начале этого

обсуждения: в случае произвольного пространства группа симметрий, сохраняющая сдвиговую структуру, состоит лишь из тождественного элемента.

Сдвиговой структурой гиперповерхности конечно, определяются хорошие срезы, а именно те, для которых . Но в общем случае никакие хорошие срезы не нужны! Это объясняется главным образом тем, что а — комплексная величина на сфере, тогда как свободе в выборе среза отвечает одна действительная функция, определенная на сфере, а именно значение параметра и, соответствующее пересечению с каждой образующей. Легко показать [299], что в случае пространства М разница между значением на одном срезе и значением на другом, полученном из первого в результате супертрансляции в формуле (9.8.9) (2), определяется слабым равенством

В пространстве М все срезы являются супертрансляциями некоторого хорошего среза так что действительный характер функции Н в формуле (9.8.92) указывает на то, что все срезы удовлетворяют условию

которое называется чисто электрическим [219], и этим эффективная свобода комплексной функции а сводится к свободе действительной функции на сфере. Однако в случае произвольного пространства в соотношении (9.8.92) добавляется член, содержащий интеграл по и от (или от в силу чего условие (9.8.93), вообще говоря, не выполняется.