§ 5 (гл. 1). Спинорные объекты и спиновая структура

Отличный от нуля спин-вектор с точностью до знака можно представить изотропным флагом (т. е. ориентированным в будущее изотропным вектором и проходящей через него ориентированной изотропной 2-плоскостью, см. формулы (3.2.2), (3.2.9), а также работу [230]) или парой инфинитезимально близких изотропных направлений, ориентированных в будущее. Однако знак спин-вектора х не имеет локальной геометрической интерпретации, поскольку непрерывный поворот на угол (вокруг произвольной оси) изменяет знак спин-вектора тогда как всякая локальная геометрическая структура (в обычном смысле) должна оставаться без изменения после такого поворота. Поэтому мы расширяем понятие «локальной геометрии» так, чтобы оно включало спинорные объекты, такие, как которые переходят в себя при поворотах на а не на Для того чтобы на многообразии могли существовать спинорные объекты, оно должно удовлетворять определенным топологическим ограничениям, и тогда говорят, что имеет спиновую структуру. Чтобы непротиворечиво ввести спин-векторы на многообразии пространства-времени следует рассмотреть непрерывные движения изотропного флага, при которых точка Р расположения флага может непрерывно смещаться, а также допускаются вращения флага в точке Р. Движение этого вида называется путем флага. Для непротиворечивости многообразие имеющее спиновую структуру, должно еще быть ориентируемым во времени и в пространстве, и тогда говорят, что имеет спинорную

структуру. Отличный от нуля спин-вектор в точке есть элемент универсального двулистного накрытия пространства изотропных флагов в Р; отличное от нуля спин-векторное расслоение над есть (не обязательно универсальное) двулистное накрытие расслоения изотропных флагов над Если многообразие не односвязно, то на нем могут существовать различные неэквивалентные расслоения спин-векторов, т. е. различные спинорные структуры. Двузначность возникает для каждой независимой петли на такой, что нечетно-кратная ей петля не стягивается в точку.