§ 4. Собственные бивекторы тензора Вейля и его классификация по типам Петрова

Уравнение на собственные значения, подобное уравнению (8.3.7), но для тензора Вейля можно построить следующим образом:

Здесь принадлежит шестимерному комплексному пространству содержащему антисимметричные элементы из пространства и всюду в этой главе, в данном параграфе мы будем рассматривать только одну точку пространства-времени). Величина называется собственным бивектором тензора Саьса, принадлежащим собственному значению Если выразить и через их неприводимые части (4.6.41) и

то уравнение (8.4.1) переходит в два уравнения

Из сравнения этих уравнений с уравнением (8.3.7) следует, что собственные значения тензора Вейля Саьса должны иметь вид

где — собственные значения спинора Собственные бивекторы, соответствующие первым трем собственным значениям, имеют вид

а трем остальным собственным значениям соответствуют собственные бивекторы

где — соответствующий собственный спинор спинора Вейля

Отметим, что в формулах (8.4.6) и (8.4.7) все собственные бивекторы — комплексные, в первом случае антисамодуальные, а во втором — самодуальные [формулы (3.4.41), (3.4.35)]. Действительные собственные бивекторы могут возникнуть только как линейная комбинация этих комплексных, например как сумма собственного бивектора (8.4.6) и комплексно-сопряженного ему бивектора (8.4.7). Однако эти линейные комбинации дадут именно собственный бивектор лишь в случае, когда равны, а значит, и действительны соответствующие собственные значения (т. е. ). Но тогда каждому действительному значению X будет принадлежать целый двумерный массив действительных собственных бивекторов тензора Саьса (а возможно, четырех или шестимерный массив, если собственное значение X соответствует двум или трем линейно-независимым собственным

спинорам спинора Чдвсв соответственно). Можно выделить представляющий определенный интерес частный случай, в котором появляется действительное значение X, а именно случай, когда два других собственных значения X комплексно-сопряжены друг другу (скажем, ), и тогда из требования будет следовать действительность собственного значения этом случае шесть собственных значений тензора Вейля минимум) попарно совпадают, что дает дополнительные возможности построения собственных бивекторов [например, в виде комплексной линейной комбинации бивектора (8.4.6) для с бивектором (8.4.7) для На основании формулы (8.3.25) — полагая — легко показать, что такая ситуация может возникнуть только при (случай при (случай или при (случай