О размерностях групп симметрий

Размерность группы симметрии в каждом конкретном случае следующим образом связана с числом независимых скаляров (всех, которые могут быть построены) и числом измерений пространства тензоров Вейля, относящихся к данному типу:

Чтобы определить (действительную) размерность пространства тензоров Вейля заданного типа, нужно проанализировать свободу выбора спинора с заданной кратностью его ГГИН. Допустим, что — число различных ГГИН. Тогда существует -мерная свобода в выборе этих направлений, а следовательно, и двумерная свобода в выборе общего комплексного «масштабного» множителя для спинора Чтобы определить число независимых скаляров, достаточно найти число соотношений (если они вообще есть), которыми обязательно должны быть связаны два комплексных скаляра 1 и при данном конкретном выборе типа тензора Вейля. Тогда оставшаяся свобода в выборе даст нам требуемую информацию. Можно также подсчитать число независимых собственных значений или, что эквивалентно, свободу в выборе параметров Слагаемое 6 в формуле (8.5.16) есть размерность группы Лоренца.

Разнообразная информация о различных типах тензора Вейля собрана воедино в таблице (8.5.17). В частности, в ней иллюстрируется соотношение (8.5.16). Кроме того, она показывает, какое значение имеют все горизонтальные, вертикальные и оба наклонных направления в схеме (8.1.9).

(кликните для просмотра скана)