O(2,4) и конформная группа

Псевдоортогональная группа линейных преобразований в пространстве сохраняющих уравнение (9.2.5), сохраняет и а значит, индуцирует преобразование пространства переводящее в М. Поскольку эта группа сохраняет линейность в , она переводит проективные прямые пространства другие такие же прямые, т. е. в световые лучи, и, следовательно, сохраняет конформную структуру пространства М. Фактически это наиболее общая группа, обладающая таким свойством [239], и она индуцирует на М конформную группу [60, 73, 174, 249]. К тому же это -параметри-ческая группа, ибо инфинитезимальные (псевдо-) ортогональные матрицы кососимметричны [относительно метрики (9.2.4)], а значит, имеют 15 действительных линейно-независимых компонент. Однако группа не идентична группе так как минус-единичный элемент группы обращает ориентацию всякой прямой, проходящей через начальную точку пространства при этом остается точечно-инвариантным. Положительный и отрицательный единичные элементы группы -единственные два преобразования группы которые дают единичный элемент группы так что групповой гомоморфизм

есть -локальный изоморфизм. К тому же это «отображение на» (сюръекция). Поскольку единичный со знаком минус элемент труппы принадлежит связной компоненте , содержащей единицу как преобразование относится к группе при всех и связывает непрерывным

образом единичный и минус-единичный элементы], групповой гомоморфизм

тоже есть -локальный изоморфизм и «отображение на». (Индекс указывает на сохранение направления хода времени, а индекс на сохранение общей ориентации.) Характер (2—1) этого отображения весьма сходен с характером отображения, связывающего спиновые преобразования с ограниченными преобразованиями Лоренца, но есть и одно существенное различие: группа не является универсальным накрывающим пространством для компоненты ибо представляет собой только конечную ее «развертку», тогда как для перехода к универсальному накрывающему пространству компоненты требуется бесконечная «развертка». В § 4 мы продемонстрируем преимущества перехода и к четырехкратной накрывающей группе компоненты а именно к псевдоунитарной твисторной группе которая также является двукратной накрывающей группой компоненты (но, разумеется, не универсальной накрывающей группой).

Группа Пуанкаре является подгруппой группы и характеризуется тем, что оставляет инвариантными как гиперплоскость так и конус Отсюда следует, что пространство М преобразуется в себя с сохранением метрики, как это и требуется. Возникающая таким образом подгруппа группы фактически изоморфна (а не -гомоморфна) группе Пуанкаре, так как отрицательный единичный элемент группы не сохраняет равенства [Прообраз группы Пуанкаре при отображении (9.2.9) — это подгруппа группы , сохраняющая две гиперплоскости ] Если к элементам группы Пуанкаре добавить растяжение, то гиперплоскость не будет инвариантной, семейство гиперплоскостей будет преобразовываться в себя и только гиперплоскость будет инвариантна относительно всей группы. В пространстве это соответствует инвариантности 4-плоскости, касающейся пространства М в точке (см. рис. 9.7), т. е. тому, что гиперповерхность 3 преобразуется в себя. Однако в случае произвольного элемента Группы эта 4-плоскость преобразуется в другую 4-плоскость, касающуюся пространства М, т. е. световой конус 3 преобразуется в полный световой конус какой-нибудь другой точки пространства М. В этом можно видеть иллюстрацию к тому, что относительно конформной структуры пространства М (а не его метрической структуры) конус равноправен с любым

другим световым конусом в М. Точно так же точка (вершина конуса ) равноправна с любой другой точкой пространства М.

Посмотрим теперь, какое значение имеют неизотропные (т. е. не касательные) 4-плоскости в пространстве Например, записанная в координатах Минковского координатная гиперплоскость представляется в как пересечение пространства с 4-плоскостью Как было установлено выше [см. текст перед формулой (9.2.2) и далее], произвольный элемент группы переводит гиперплоскость в двухполостной (в пределах М) пространственноподобный 3-гиперболоид в М Группа переводит 4-плоскость в другие 4-плоскости пространства «времениподобные» по отношению к световому конусу (9.2.5). Они образуют пятипараметрическую систему и пересекают М по 3-поверхностям, соответствующим пространственноподобным 3-гиперболоидам (или пространственноподобным 3-плоскостям) в М. Точно так же в пространстве существуют 4-плоскости (например, которые по отношению к световому конусу (9.2.5) «временипо-добны». Они тоже образуют пятипараметрическую систему и пересекают М по 3-поверхностям, соответствующим времени-подобным однополостным (в пределах М) 3-гиперболоидам или, в частных случаях, времениподобным 3-плоскостям в М.