§ 10. Потери массы Бонди — Сакса и положительность энергии

Распространение 4-импульса Бонди — Сакса не страдает упоминавшимися в двух предыдущих параграфах неопределенностями, связанными с распространением момента импульса. Четыре-импульс, содержащийся в области, окруженной любым сразом гиперповерхности относится к асимптотическому векторному пространству , а такие пространства, как мы знаем [см. текст, относящийся к формулам (9.9.42), (9.9.43)], могут быть канонически отождествлены друг с другом как пространство Детальное распространение пространства не требуется. В этом параграфе будет дано доказательство одного важного (и желательного с точки зрения физического смысла) свойства положительности, которым обладает 4-импульс Бонди — Сакса, и в общих чертах будет дано доказательство второго свойства. Первое — это формула потери массы [26, 27, 298, 299, 234, 236, 240, 224, 220], которая показывает, что масса-энергия, переносимая гравитационным излучением, положительна и ее поток на измеряется квадратом нормы комплексной функции новостей Бонди — Сакса Второе свойство состоит в положительности самой массы Бонди — Сакса и связано с выполнением в соответствующего «условия энергодоминантности». Наше доказательство последнего в значительной мере повторяет доказательство, данное Людвигсеном и Виккерсом [194] (см. также работы [140, 290]) и являющееся развитием замечательной цепочки рассуждений, выполненных Виттеном [374]. Положительность массы, измеренной на пространственной бесконечности, впервые была доказана в работах [302, 303], а Виттен занялся поисками альтернативного доказательства для этого же случая.

Формула для потерь массы Бонди — Сакса

Будем считать, что есть 4-асимптотически простое пространство будущего и что, как и в § 9 [см. текст после формулы (9.9.32)], тензор энергии, если задать его масштаб соотношением вида (9.9.31), будет регулярным на Как и в § 8 и в конце § 9, физические величины будем отмечать тильдами. Тогда физические тождества Бианки (4.10.12)

после подстановки значения (9.9.33) (1) и конформного преобразования с помощью формулы (9.9.32), а также с учетом формул (9.9.31), (9.9.34), (6.8.4), (6.7.31), (5.6.15) и (5.6.14) примут вид

Следовательно [формула (9.8.23)],

Записав и — компоненты слабого равенства (9.10.3) в обозначениях модифицированного формализма спиновых коэффициентов, мы получим соответственно [формула (4.12.27)]

где масштаб гиперповерхности выбран так, что (см. § 8, 9). [Фактически можно легко восстановить, заменив выше оператор конформно-инвариантным оператором из формулы (5.6.33) и соответственно отнеся -члены к Напомним также, что в системе Бонди см. формулу Непосредственно нас здесь будет интересовать лишь выражение (9.10.5), однако все эти соотношения представляют интерес и сами по себе. Например, (-это условие совместности двух формул (9.8.82) и (9.9.83), которые связывают соответственно с функцией новостей Бонди — Сакса N:

[предполагается, что выполняется уравнение (9.8.33), и используется коммутатор (4.12.34)]. Кроме того, (9.10.6) будет играть роль во временной эволюции момента импульса, сходную с той ролью, которую будет играть здесь (9.10.5) во временной эволюции 4-импульса. И наконец, существует связь между формулой (9.10.7) и формулой Эйнштейна [85] для потерь энергии, обусловленных изменениями квадрупольного момента масс системы, мерой которого является величина Но мы не будем касаться здесь этих вопросов.

Нашей первой целью является обоснование формулы для потерь массы Бонди—Сакса, для которой мы примем форму (9.9.56)

Рис. 9.26. Для исследования потерь массы-импульса излучающей системой используется разность глобальных величин массы Бонди — Сакса, соответствующих двум произвольным срезам гиперповерхности (таким, что целиком лежит в будущем относительно ).

где для простоты весовой множитель принят равным единице. Таким образом, выражение (9.10.9) приписывает ту компоненту 4-импульса Бонди — Сакса, окруженного срезом которая относится к временному направлению, определяемому нашим частным выбором метрики единичной сферы в Мы будем называть просто массой на Применим форму (4.14.92) фундаментальной теоремы исчисления внешних форм к области из окруженной двумя срезами такими, что лежит целиком в будущем относительно вдоль Ситуация изображена на рис. 9.26, который можно сравнить с рис. 4.3 (т. 1, с. 341). Масса М на может быть интерпретирована как полная масса-энергия (включающая нелокальные гравитационные вклады), отсекаемые компактной пространственноподобной 3-поверхностью в граница которой целиком лежит в Таким образом, всякое уходящее излучение, которое пересекает эту 3-поверхность, будет давать вклад в полную энергию. То же самое относится к массе М на из соотношения (4.14.92) [вместе с (4.14.89)] следует равенство

где и (XI — взвешенные скаляры типа соответственно. Здесь мы положили причем дается выражением (4.14.88). Сравнивая (4.14.88). с (9.8.30), мы видим, что дифференциал в соотношении (9.10.10), согласно

формуле (4.14.89), должен иметь вид Положим

и вычислим в области 2, пользуясь формулами (9.8.26), (9.8.73), (9.10.5), (9.10.8) и (9.8.28), разность

Таким образом, формула (9.10.10) означает, что

Первый член под интегралом дает поток энергии материальных полей через и неотрицателен для мыслимых видов материи. [Например, в случае электромагнитного поля мы имеем согласно формуле (5.2.4). Соответственно этому член дает поток через гравитационной энергии, чем и доказывается важное свойство положительной определенности энергии гравитационного излучения. (Первые доказательства, относящиеся только к сечениям и были связаны с трансляцией группы Наш более общий подход основан на работе

Поскольку наше доказательство справедливо при любом выборе оси времени (т. е. при любой метрике единичной сферы на , можно сделать вывод, что разность 4-импульса на и 4-импульса на должна быть причинным вектором будущего [28]. Если же функция всюду отлична от нуля, то указанная разность является времениподобным вектором будущего.