«Картина» тензора Вейля на S+

Прежде чем переходить к подробному изучению различных типов тензора Вейля, сделаем одно замечание общего характера, которое, помимо прочего, имеет прямое отношение к симметриям спинора . В дополнение к расположению ГГИН спинор характеризуется еще «фазой» и «амплитудой», которые необходимы для его полного описания. Сначала выясним, как его фаза связана с Рассмотрим величину

Если флагшток спинора не относится к ГГИН то выбором полотнища флага, связанного с можно, сохраняя фиксированное положение флагштока, добиться, чтобы выполнялось условие

Существуют четыре разных варианта таких спиноров которые дают нужный эффект, а именно

У двух первых спиноров здесь одинаковые полотнища флагов. Этим же свойством обладают и два вторых. Однако направления полотнищ первой пары противоположны направлениям полотнищ второй. Что же касается представления всего сказанного на сфере то в каждой точке этой сферы имеются два

соответствующих касательных направления (отвечающие как раз тем полотнищам флагов, которые дают не связанные с ГГИН и противоположные друг другу. Следовательно, в каждой точке сферы однозначно определено неориентированное касательное направление (или линейный элемент). А это означает, что на есть поле такого рода направлений и оно характеризует не только ГГИН (в чем мы скоро убедимся), но еще и фазу спинора ибо, чтобы выполнялось условие (8.2.4), преобразование

где — целое число. При изменении фазы вида (8.2.6) касательные направления поворачиваются на угол

Будем называть такое поле направлений на картиной тензора Вейля. Этой картиной с точностью до положительного множителя определяется спинор Следовательно, ею с точностью до положительного множителя определяется и тензор Вейля (причем соответствует картине, ортогональной данной).

Картина касательных направлений допускает прямую физическую интерпретацию. Из уравнения Сакса (7.2.12) видно, что изменения в сдвиге лучей конгруэнции изотропных геодезических характеризуются величиной То, а изменения в сходимости — величиной Рассмотрим изотропно-геодезическую -конгруэнцию один из лучей которой проходит через точку Р в направлении полотнища флага спинора и пусть в Р. Характеристики кривизны и 40 «действуют» на такие лучи подобно линзе [238], причем величина ответственна за саму фокусировку, a — только за астигматизм фокусировки. Чтобы в этом убедиться, достаточно вернуться к рис. 7.2 (перед формулой (7.1.49)), дающему интерпретацию и . Но если и о связаны с относительными «скоростями», то и То фактически связаны с относительными «ускорениями» соседних лучей. Причем и То дают прямой вклад в только в том случае, если пучок лучей проходит через точку Р без сдвига и сходимости ( в Р). Направление максимальной фокусировки задается малой осью эллипса на рис. 7.2 и составляет с полотнищем флага спинора угол Однако мы полагаем, что полотнище флага спинора то же, что и а — это из формул (8.2.3) и (8.2.4). Следовательно, плоскость максимальной фокусировки совпадает здесь с полотнищем флага, а значит, и с направлением картины тензора Вейля на Мы приходим к следующему предложению.

Рис. 8.1. Направление картины тензора Вейля на сфере соответствует направлению максимальной фокусировки, обусловленной вейлевой кривизной.

Предложение

Картина тензора Вейля дает направления астигматизма и направления максимальной фокусировки (а также направления максимальной дефокусировки, ортогональные направлениям максимальной фокусировки) для линзового эффекта, обусловленного кривизной пространства-времени в точке Р (рис. 8.1).

То обстоятельство, что в каждой точке существуют четыре тесно связано с известным топологическим свойством векторных полей на сфере Оно обычно формулируется [54, 204, 335] так: существуют две и только две (при правильном подсчете) точки, в которых векторное поле на должно быть равно нулю (при подсчете точки могут быть отрицательными). На картине тензора Вейля мы имеем поле линейных элементов, которые, будучи неориентированными, допускают конфигурации, подобные представленным на рис. 8.2, а, где эти элементы окружают точки в которых они не определены [256], в дополнение к конфигурации, изображенной на рис. 8.2, б. Направлениям на рис. 8.2, а нельзя сколько-нибудь

последовательным образом приписать стрелки. Поскольку же две неориентируемые конфигурации всегда можно объединить в одну ориентируемую, у нас получается ровно 4 точки с равным нулю полем. При подсчете каждое ГГИН считается положительным, так что существование четырех ГГИН согласуется с топологическим результатом. В случае кратных ГГИН следует принимать в расчет их кратность. Конфигурация линейных элементов, как явствует из рис. 8.3, при каждой кратности, разумеется, своя. Мы видим, что вращательная симметрия по отношению к ГГИН встречается только в случае Значит, как уже отмечалось, вращательной симметрии достаточно, чтобы исключить в шварцшильдовском случае типы {31} и {4}. То обстоятельство, что случай допускает несколько существенно разнящихся конфигураций, связано с тем, что вращательная симметрия лишает нас информации, равноценной «одному параметру» относительно ориентации конфигурации, и мы вновь получаем эту информацию из вариаций последней.

Отметим, что свойства симметрии конфигураций (на картине тензора Вейля) вблизи ассоциированной с ГГИН точки Р связаны со спиновым весом различных спиноров Если принять, что то для -кратного ГГИН мы имеем Вид картины вблизи точки Р определяется ведущим ненулевым членом в выражении (8.2.3), в котором спинор заменен спинором что дает Таким образом, в случае (спиновый вес равен нулю) мы имеем локальную полную вращательную симметрию; в случаях (спиновый

Рис. 8.2. Некоторые типы особенности на «картине» тензора Вейля, а — последовательно указать ориентацию невозможно (имеет отношение к спину 2); б — можно непротиворечиво указать ориентацию (имеет отношение к спинам 1 и 2). Нижняя конфигурация в обоих случаях считается отрицательной и в данном контексте не рассматривается.

Рис. 8.3. Типы особенности на картине тензора Вейля (на сфере соответствующие кратности ГИН, равной

вес равен ±1) вращательной симметрии нет — локальная конфигурация картины характеризуется единственным касательным направлением на , наконец, в случае (спиновый вес равен —2) имеется простая центральная симметрия.