Конструкция Уорда

Другой хороший пример того же явления — конструкция Уорда [357] общих антисамодуальных (или самодуальных) решений полевых уравнений Янга—Миллса. Напомним, что антисамодуальному полю Янга — Миллса отвечает связность в расслоении, антисамодуальная часть кривизны которой равна нулю. Уравнения Янга — Миллса в этом случае будут следствиями тождества Бианки для этого поля [формулы ( 5.5.35) — (5.5.50) и далее]. В обозначениях (5.5.37), (5.5.49) данное требование к кривизне может быть записано в виде т. е. [в силу второго равенства (5.5.40)] в виде уравнения

для любого заряженного поля Янга — Миллса (как обычно, считаем что поле в каждой точке принадлежит конечномерному комплексному векторному пространству а векторное расслоение Янга — Миллса голоморфно в рассматриваемой области пространства Условие (6.10.69) можно переписать, пользуясь скобками Ли [формула (4.3.26)], в виде

(компоненты отнесены к неподвижной спиновой системе отсчета) при всех значениях . Далее, а-плоскость в есть изотропная комплексная 2-поверхность, в каждой точке которой касательная плоскость натянута на векторы отвечающие некоторому фиксированному значению (см. с. 81 и гл. 9, § 3). Уравнение (6.10.70) показывает, что связность Янга — Миллса интегрируема на всякой -плоскости. Следовательно, заряженные поля Янга—Миллса, определенные в непустой связной односвязной области на -плоскости, глобально параллелизуемы. Поскольку каждой -плоскости отвечает единственная точка пространства (см. с. 81, гл. 9, § 3 и таблицу (9.3.22)], множество постоянных заряженных полей Янга — Миллса постоянных на образует векторное пространство, которое можно рассматривать как слой над точкой Этот слой изоморфен исходному векторному пространству совпадающему со слоем расслоения а-плоскости (или куски а-плоскостей), на которых выполняется условие глобальной параллелизуемости, образуют подмножество пространства с каждой точкой которого связана копия исходного векторного пространства Янга — Миллса Таким образом, мы имеем -расслоение Ф над Это расслоение будет голоморфным по построению.

Менее очевидным представляется то обстоятельство, что связность Янга — Миллса а вместе с ней и кривизна Янга — Миллса полностью определяется условием голоморфности расслоения над У. Несмотря на то что на введения связности не требуется, информация об исходном расслоении и его янг-миллсовой связности содержится в структуре Чтобы объяснить в общих чертах, почему это становится возможным, начнем с того, что с помощью можно восстановить (над некой областью в пространстве которая не обязательно совпадает с базой исходного расслоения . Каждой точке соответствует проективная прямая в , если , исходное голоморфное расслоение индуцирует над расслоение . Это расслоение обладает тем свойством, что оно допускает лишь постоянные голоморфные сечения. (Это следует из общей теории голоморфных векторных расслоений [54, 118], если для расслоения выполняются определенные условия «стабильности», как в общем, «генерическом», случае, так, следовательно, и тогда, когда получено из заданного расслоения 38, как в нашем случае.) Этими постоянными сечениями определяется векторное пространство, играющее роль слоя над точкой в расслоении Чтобы показать, что в этой конструкции неявно содержится информация о связности на , рассмотрим семейство линий проходящих через фиксированную точку (рис. 6.18). Поскольку слой над Z

Рис. 6.18. Конструкция Уорда в случае (анти-) самодуальных полей Янга — Миллса.

будет общим для всех расслоений индуцированных над различными линиями из переход от одного постоянного сечения к другому задается отображениями слоя над на себя. Таким образом возникает естественный изоморфизм между всеми слоями над -плоскостью, т. е. мы имеем глобальный параллелизм для поля на -плоскости. Это дает связность ограниченную на -плоскость, а рассматривая затем совокупность всех -плоскостей, мы получаем связность на всем пространстве (которая, разумеется, уже не обязательно будет глобально-интегрируемой). Этим завершается доказательство утверждения о том, что связность Янга — Миллса полностью определяется условием голоморфности расслоения

Поскольку расслоение не требует введения связности, роль функций склейки в нем могут играть произвольные голоморфные функции, определенные в соответствующих областях. [Разумеется, если группой Янга — Миллса будет в противном же случае следует доопределить генерические элементы группы Янга — Миллса как решения некоторых алгебраических, но не дифференциальных уравнений.] Склейка осуществляется (так же как в гл. 5, § 4) заданием функций перехода между областями пространства расслоения, лежащими над множествами образующими некоторое (локально-конечное) открытое покрытие множества У. Нели группа абелева (как в случае электромагнетизма), то условия склейки будут линейными и, следовательно, могут описываться некоторой 1-функцией. В неабелевом же случае получаем пример функций склейки, которые могут рассматриваться как нелинейные обобщения 1-функций, обсуждавшихся выше.