Соответствие Клейна

Исследуем геометрическую связь между и проективным твисторным пространством точки которого являются классами эквивалентности пропорциональных (ненулевых) твисторов Пространство обладает структурой комплексного проективного 3-пространства и может быть параметризовано с помощью трех независимых комплексных отношений Как следует из абзаца, содержащего формулу (6.2.15), комплексные линейные 2-пространства в твисторном пространстве Т (по меньшей мере те, для которых не все твисторы имеют пропорциональные проекционные части) представляют точки в комплексифицированном пространстве Минковского Кроме того из абзаца, содержащего формулу следует, что эти 2-пространства Могут быть представлены как классы эквивалентности пропорциональных (не равных нулю) простых кососимметричных твисторов . В пространстве эти 2-пространства можно рассматривать как комплексные проективные прямые [каждая из них является пространством ]. Следовательно, эти прямые представляют в точки пространства Но, чтобы получить некую конечную точку пространства мы требуем, чтобы прямая, представляющая ее в не пересекалась с прямой которая задается уравнением Дело в том, что прямой определяется система твисторов с равной нулю проекционной частью, а поэтому прямая в пересекающаяся с I, представляет линейное 2-пространство в Т, содержащее твистор с равной нулю проекционной частью, откуда следует, что проекционные части всех твисторов в 2-пространстве обязательно пропорциональны друг другу. Тем не менее такая прямая, будучи представлена простым кососимметричным твистором должна соответствовать точке пространства Следовательно, она соответствует точке конуса , а сама прямая I — вершине конуса У. Мы видим, что точками пространства представляются линии пространства Такого рода соответствие, при котором линии проективного 3-пространства представляются точками квадрики в проективном -пространстве, называется соответствием

(представлением) Клейна. Оно лежит в основе всей твисторной геометрии.

Теперь рассмотрим обратное соответствие. Нам нужно выяснить, как представить точку пространства в пространстве Проанализируем поведение прямых в проходящих через точку Они входят в 2-комплексно-параметрическое семейство (которое называется связкой прямых), соответствующее комплексной 2-поверхности в Этой 2-поверхностью и можно воспользоваться для представления точки Чтобы установить, каков характер этой 2-поверхности, вернемся к формуле (6.2.2) как основе уравнения (6.2.15), которое связывает радиус-вектор точки пространства с линейным 2-пространством твисторов. Уравнение (6.2.2) есть условие инцидентности между точками пространства и твисторами. Так, мы говорим, что точка инцидентна твистору если

где — радиус-вектор точки относительно любой точки, в которой вычисляются спинорные поля (Для определенности будем вычислять все интересующие нас соотношения в фиксированной начальной точке О.) Если зафиксировать в соотношении (9.3.12) радиус-вектор и позволить изменяться твистору то мы получим линейное 2-пространство в Т, о котором говорилось выше и которым представляется точка в твисторном описании. Если же зафиксировать и менять то мы получим искомый локус которым представляется в При условии, что т. е. что , уравнение (9.3.12) имеет как минимум одно комплексное решение

Рис. 9.8. Всякая -плоскость в пространстве вполне изотропна. Разность двух радиус-векторов, проведенных к двум ее точкам, — это комплексный изотропный вектор причем спинор фиксирован, а изменяется. Аналогичным свойством обладает -плоскость, но роли спиноров и меняются.

(в чем легко убедиться, рассмотрев это уравнение в компонентной форме записи). Обозначим это решение через Тогда остальные решения должны удовлетворять уравнению и в силу формулы (3.5.17) имеют вид

где областью изменения спинора является все многообразие Комплексные векторы в точке О при фиксированных и меняющихся образуют (комплексно) мерное векторное пространство, все элементы которого изотропны и взаимно ортогональны. Следовательно, пространство — это 2-плоскость в (рис. 9.8) и все ее касательные векторы изотропны и взаимно ортогональны. Стало быть, расстояние между двумя любыми точками на равно нулю, т. е. тождественно равна нулю индуцированная на метрика.

В пространстве имеются два семейства плоскостей, обладающих таким свойством. Второе получается, когда спиноры меняются ролями, т. е. когда выполняется соотношение (9.3.13), но остается фиксированным, а изменяется с формулой (3.2.22) и далее]. Плоскости первого типа называются -плоскостями, а второго — -плоскостями. (Эта терминология согласуется с принятой в гл. 6, § 2 и гл. 7, § 4.) Итак, мы только что доказали, что представлением точки пространства (при ) в является -плоскость. Если же рассматривать -плоскости в то от ограничения можно отказаться. Это сразу же следует из полной

однородности пространства и из конформной инвариантности (которую мы сейчас докажем) а-плоскости.

В самом деле, -плоскость есть комплексная 2-поверхность, все касательные векторы к которой в любой данной точке имеют при некотором форму Алял [это эквивалентно утверждению, что касательные бивекторы самодуальны и изотропны, поскольку имеют вид елвяляв; см. формулу (3.4.39)] и касательные пространства которой при параллельном переносе вдоль касательных направлений переходят в себя (т. е. поверхности плоские). Последнее условие при некоторых и при любых можно записать в виде

т. е. для всех и выполняется уравнение

а значит, и уравнение

которое, как следует из формулы (7.4.56), является конформноинвариантным, если приписать спинору конформный вес, равный 1. [Сходство между уравнениями (9.3.15) и (7.3.1) не случайно: см. предложение (7.3.18).] Уравнение (9.3.15) оказывается фактически следствием того, что все касательные к поверхности векторы имеют вид Ялял [с определенным спинором в каждой точке в силу условия со скобками Ли, при котором касательными плоскостями определяется поверхность; см. формулу (7.3.17)]: при некоторых имеем

свертка обеих частей этого равенства с дает

откуда снова получается уравнение (9.3.15) и его следствие (9.3.14).

Что касается -плоскостей, то они появляются совершенно аналогичным образом, если заменить только что рассмотреныый -твистор дуальным -твистором и поменять ролями штрихованные и нештрихованные спинорные индексы. Условие инцидентности (9.3.12) заменяется уравнением

Решения этого уравнения имеют, как и раньше, вид (9.3.13), но теперь спинор фиксирован, а изменяется. Отсюда следует, что -плоскость можно рассматривать как представление проективного дуального твистора в или Но проективный дуальный твистор можно также представить комплексной проективной 2-плоскостью (т. е. пространством в поскольку твистор можно с точностью до пропорциональности представить системой точек для которых

Уравнение (9.3.17) указывает на инцидентность между плоскостью и точкой в т. е. между дуальным твистором и твистором Условие инцидентности (9.3.12) в чисто твисторной форме имеет вид

Из этих формул следует, что в точка лежит на прямой (представленной твистором Если то этот дуальный твистор можно рассматривать как представление плоскости, связывающей с в Соответственно этому условие инцидентности (9.3.16) можно переписать в виде

Это означает, что в прямая лежит в плоскости . И аналогично если , то этот твистор является представлением точки пересечения прямой с плоскостью

Итак, в пространстве точка прямая и плоскость представляются -плоскостью точкой и -плоскостью Инцидентность между и в переходит в инцидентность между и в точка лежит на -плоскости Инцидентность между и в переходит в инцидентность между и в точка лежит на -плоскости Инцидентность между и в переходит в инцидентность между и в -плоскость пересекается с -плоскостью . В справедливости последнего утверждения можно убедиться,

либо снова обратившись к формулам (9.3.12), (9.3.16) и (9.3.17) и построив рассуждения так, чтобы охватить случаи, когда точка лежит на 9 или в точке либо просто приняв во внимание, что если точка лежит на плоскости то существует прямая которая одновременно лежит на плоскости и проходит через точку т. е. существует точка которая лежит одновременно на -плоскости и на -плоскости Заметим, что если это условие выполняется, то существует не одна прямая а целое однопараметрическое семейство таких прямых, лежащих в плоскости и проходящих через точку т. е. плоский пучок прямых. В можно указать кривую пересечения -плоскости с -плоскостью — комплексную изотропную геодезическую в конформной метрике пространства ибо это изотропная прямая в (потому, например, что параметрическое уравнение этой кривой имеет вид линейной функции . И обратно, всякая комплексная изотропная геодезическая в появляется именно таким путем, так что справедливо следующее предложение.

Предложение

Через всякую изотропную геодезическую пространства проходит единственная -плоскость и единственная -плоскость-, линия пересечения -плоскости с -плоскостью всегда является изотропной геодезической.

В то же время две любые разные -плоскости всегда имеют в единственную общую точку, ибо две разные точки на связаны между собой единственной прямой; аналогично две любые разные -плоскости всегда имеют в единственную общую точку, так как две разные плоскости в имеют единственную общую прямую. («Инцидентность» между двумя а-плоскостями или между двумя -плоскостями — это обязательно «совпадение».) Две прямые в в общем случае не пересекаются (они «скрещиваются»), но если пересекаются, то лежат в одной плоскости. Таким образом, пересекающиеся прямые в соответствуют изотропно-разделенным точкам в Итак, справедливо следующее предложение.

Предложение

(см. скан)

Рис. 9.9. Основное геометрическое соответствие — соответствие Клейна, — связывающее отношения инцидентности точек, плоскостей и прямых в пространстве (комплексном проективном 3-пространстве) с отношениями инцидентности -плоскостей, р-плоскостей и точек (в комплексной проективной 4-квадрике)

Взаимосвязи геометрий пространств и приведены на рис. 9.9 и в таблице (9.3.22).