Нелинейные 1-функции

Есть и еще одна причина, чтобы приписывать 1-функции особую роль, аналогичную роли отдельной частицы. Это связано со способом включения взаимодействия. Напомним, что 1-функция есть семейство обычных функций, определенных на пересечениях открытых множеств и удовлетворяющих некоему условию совместности [условию коцикличности (6.10.58)] на пересечениях троек множеств. Это напоминает введение координат на многообразии с помощью координатных окрестностей: на пересечении каждой пары окрестностей определены функции перехода, задающие переход от одной координатной системы к другой, причем на пересечении трех множеств эти функции должны удовлетворять некоторым условиям совместности. Кроме того, если нас интересуют лишь внутренние свойства многообразия, то можно произвольно менять координаты в каждой окрестности. Этот дополнительный произвол аналогичен произволу добавления кограницы вида (6.10.59), причем функции [формула (6.10.60)] аналогичны функциям перехода к новым координатам. Основное различие же состоит в том, что соотношения (6.10.58) и (6.10.59) линейны, тогда как соотношения между функциями перехода, вообще говоря, нелинейны.

Здесь мы имеем не просто внешнюю аналогию. Рассмотрим вместо склеивания многообразия из открытых множеств лишь инфинитезимальную деформацию заданного (комплексного) многообразия Мы разделяем многообразие на систему исходных открытых множеств а затем вновь склеиваем их несколько по-другому. Если новая склейка мало отличается от

Рис. 6.17. Деформация комплексного многообразия

исходной, то относительное смещение можно представить векторным полем, определенным на пересечении каждой пары окрестностей, и в этом случае условия совместности для векторного поля на пересечении трех окрестностей в точности совпадают с равенством (6.10.58) (рис. 6.17). Условие же тривиальности деформации, т. е. условие того, что деформированное многообразие эквивалентно исходному в принятом здесь смысле, совпадает с условием (6.10.59) (записанным для векторных полей). Мы видим, что деформации описываются голоморфными 1-функциями или, точнее, векторными полями -функций.

Итак, в определенных ситуациях 1-функции можно рассматривать как отвечающие линеаризованным деформациям, имеющим, быть может, смысл приближения к точной теории, описывающей нелинейные деформации. В теории твисторов существует точка зрения, согласно которой взаимодействия следует трактовать в терминах деформаций, по отношению к которым 1-функции свободных частиц играют роль линейного приближения. Поскольку взаимодействие вводится между отдельными частицами, а не системами частиц, можно предположить, что основную роль в такой теории должны играть 1-функции.

Действительно, эта точка зрения получает определенную поддержку (хотя перспективы пока не ясны) при анализе следующих двух примеров. Пространство Т твисторных 1-функций, однородных степени описывает частицы со спиральностью (гравитоны), и соответствующие контурные интегралы дают волновые функции Фавсо, удовлетворяющие линеаризованным уравнениям Эйнштейна для антисамодуального случая.

Оказывается, что с помощью этих функций можно описывать линеаризованные деформации областей в Т, которые экспоненцируются до конечных деформаций. Отсюда получаем в пространстве-времени (хотя и в неявном виде) общие решения нелинейных уравнений Эйнштейна с антисамодуальным тензором кривизны Вейля (т. е. правоплоские комплексные многообразия пространства-времени, см. с. 159), а также работу [252]). Аналогично, рассматривая деформации областей в Т., можно получить решения с самодуальным тензором Вейля (леволлоские).