§ 5. Космологические модели и соответствующие твисторы

Прежде чем рассматривать асимптотическую структуру произвольного искривленного пространства-времени, интересно рассмотреть ее сначала в случае стандартных космологических моделей Фридмана — Робертсона — Уокера (ФРУ) [292]. В настоящее время имеются довольно впечатляющие данные наблюдений, свидетельствующие в пользу того, что структура реальной Вселенной прекрасно аппроксимируется такой моделью. Все модели ФРУ являются конформно-плоскими [см. предложение (8.2.2)], а значит, могут быть представлены как конформные подмножества эйнштейновского цилиндра (который сам

тоже относится к космологическим моделям Посмотрим, как это связано с геометрическими и алгебраическими построениями, изложенными в § 1—3. Такой анализ откроет нам путь к непосредственному использованию твисторного формализма для изучения этих моделей.

Метрика модели ФРУ в общем случае имеет следующую стандартную форму:

где U - «космическое время», или 0, так что метрика в фигурных скобках представляет собой метрику единичной 3-сферы, единичного трехмерного (гиперболического) пространства Лобачевского или трехмерного евклидова пространства, соответственно. Перейдя к новым координатам

или

или

эту метрику можно переписать в следующих альтернативных формах:

где

В формуле в фигурные скобки заключена рассмотренная в § 1 метрика эйнштейновского цилиндра . В том же параграфе мы выяснили, как конформно связать метрику пространства с метрикой пространства Минковского М, которая взята в фигурные скобки в формуле (9.5.3в). Путем очевидных модификаций можно также найти соответствующие формулы, связывающие метрику антиэйнштейновской вселенной которая записана в фигурных скобках в формуле (9.5.36), с метрикой пространства Минковского, т. е. найти явное конформное отображение из в Все вместе это дает

Рис. 9.15. Полные конформные пространства при различных значениях эйнштейновский цилиндр пространство Минковского антиэйнштеновское пространство Различные конформные области пространства указаны с помощью координат введенных в пространстве . В каждом случае показаны линии постоянного времени и мировые линии «фундаментального наблюдателя».

где

Координаты тир здесь те же самые, что использовались в § 1 для описания эйнштейновского цилиндра, и связаны с координатами Минковского соотношениями, тоже приведенными в § 1.

На рис. 9.1 и 9.2 мы видели, что пределы изменения переменных (а значит, и соответствуют всему пространству Минковского М. В этих пределах конформный множитель

определяющий отображение из М в положителен и граница находится там, где этот множитель становится равным нулю Точно так же как пространство М конформно лишь части пространства 8, антиэйнштейновское пространство конформно лишь части пространства . В этой части конформный множитель

определяющий отображение из М в положителен и равен нулю на границе, где координаты становятся бесконечными:

Вложенные одна в другую области этого конформного отображения показаны на рис. 9.15.