Конформно-инвариантное волновое уравнение и оператор

Выяснив закон преобразования всех составных частей тензора кривизны при конформных отображениях, мы можем перейти к исследованию конформной инвариантности уравнений, содержащих вторые и высшие производные. Формулы преобразования кривизны необходимы, поскольку в такие уравнения часто приходится вводить «поправочные слагаемые», содержащие кривизну, чтобы обеспечить конформную инвариантность. Простейший пример такой ситуации дает волновое уравнение, которое в плоском пространстве записывается в виде . В такой записи оно не будет конформно-инвариантным (если только конформная метрика вновь не будет плоской или конформное отображение не отвечает переходу от одного пространства с нулевым скаляром Риччи к другому). Чтобы добиться конформной инвариантности, это простое уравнение нужно модифицировать следующим образом:

причем закон преобразования поля как и в случае безмассовых полей с положительным спином, мы выбираем в виде

Инвариантность уравнения (6.8.30) следует прямо из соотношения (6.8.25). Действительно, если поле преобразуется по закону (6.8.31), а в остальном произвольно, то мы имеем

Отметим, что равенство (6.8.25) можно рассматривать как частный случай равенства (6.8.32), когда

Уравнение (6.8.30) представляет собой естественное обобщение уравнения (4.12.42) для безмассовых полей с положительным спином на поля со спином, равным нулю. Поскольку поле не несет индексов, точный аналог уравнения (4.12.42) сконструировать нельзя. Но полелв удовлетворяет уравнению второго порядка, которое является следствием полевого уравнения (4.12.42) и может быть обобщено на случай спина, равного нулю. В плоском пространстве-времени выполняется соотношение

так как из коммутативности производных следует кососимметричность по индексам А, В [формула (2.5.24)]. Аналогичное соотношение в искривленном пространстве-времени (или в присутствии электромагнитного взаимодействия) имеет вид

где - оператор, определенный в формуле (4.9.2). В применении к уравнению (4.12.42) это равенство в случае безмассового поля с зарядом и спином дает

где мы использовали соотношения (4.9.13) и (5.1.44). С учетом равенств (4.6.19) и (4.6.34) находим

Это уравнение допускает переход к «пределу при только при условии, что обе величины и равны нулю. Отметим, что и в случае (достаточно большого) положительного спина дополнительно должно выполняться условие совместности (5.8.2), если только указанные величины не обращаются в нуль. Таким образом, в любом случае уравнение (4.12.42) для поля с произвольным спином имеет самостоятельный интерес только

в конформно-плоском пространстве и в отсутствие электромагнитного взаимодействия. В этом случае его предельная форма при действительно совпадает с уравнением (6.8.30), как следует из соотношения (6.8.35). Разумеется, появления «поправочного слагаемого» в этом пределе можно было ожидать заранее, поскольку оно необходимо для обеспечения конформной инвариантности.

Можно также отметить, что для решений уравнения (6.8.30) существует сохраняющийся тензор энергии-импульса

который симметричен, имеет нулевую дивергенцию, а также след, равный нулю [220, 38]. Его обычно называют улучшенным тензором энергии-импульса. Дивергенция канонического тензора энергии-импульса

обращается в нуль на решениях (не являющегося конформноинвариантным) уравнения но след его не равен нулю. Однако тензор обладает важным свойством знакоопределенности: (в случае изотропных, ориентированных в будущее векторов ), которое не выполняется для . В плоском пространстве разность есть полная дивергенция которая не дает вклада в полный тензор энергии-импульса. Тензоры энергии-импульса (с нулевым следом) для безмассовых полей со спином 1/2 и 1 были приведены в формулах (5.8.3) и (5.2.4). Для безмассовых полей с большими спинами не существует (локальных) тензоров энергии-импульса.

Отметим мимоходом два частных случая уравнения (6.8.35). Для максвелловского поля в искривленном пространстве-времени без зарядов имеем уравнение

которое полезно сравнить с уравнением

(см. [84, § 74]; множитель 2 в записи этого уравнения в книге Эддингтона — ошибка).

Для гравитационного поля имеем

в пустом пространстве с космологической постоянной X [формулы (4.10.9) и (4.10.10)]. Если тождества Бианки содержат ненулевую правую часть [формула (4.10.12)], то уравнение (6.8.40) модифицируется следующим образом:

где использовано второе соотношение (4.6.32). Рассматривая последние два слагаемых в правой части как «источники», мы интерпретируем первое слагаемое как «поправочное» к гравитационному волновому уравнению. Равенство его нулю является необходимым и достаточным условием того, что спинор изотропный (т. е. все его главные изотропные направления совпадают). Мы докажем это в гл. 8, § 6. Отметим, что существуют точные вакуумные изотропные решения волнового типа, которые вполне аналогичны решениям соответствующих линейных уравнений, хотя для неизотропных решений эта аналогия не столь очевидна [296, 172, 316, 317].