Конформные изменения масштаба

Мы полагаем, что конформное преобразование метрики пространства-времени

сопровождается «геометрически естественным» преобразованием

(одновременно с преобразованием комплексно-сопряженной величины), где — нигде не обращающееся в нуль (обычно положительное) действительное скалярное поле. (Индексы величин со шляпками поднимаются и опускаются с помощью символов ) Определяя

находим, что ковариантная производная преобразуется следующим образом:

При преобразованиях (5.6.1), (5.6.2) диада может преобразовываться по-разному, а потому мы пишем

Полагая

находим, что спиновые коэффициенты преобразуются следующим образом:

В частности,

веса соответственно, а также

веса, соответственно, Здесь слова «величина конформного веса означают, что эта величина преобразуется в соответствии с равенством

при конформном преобразовании (5.6.1), (5.6.2), (5.6.22). Предположим, что — одновременно величина типа [т. е. она преобразуется по закону (4.12.9) при масштабных преобразованиях диады (4.12.2)]. Тогда мы вводим следующие операторы, определяемые их действием на величину

Величины, которые получаются при действии таких операторов на будут конформными инвариантами:

Используя эти операторы, можно упростить модифицированные уравнения для свободных безмассовых полей и привести их к

а также упростить модифицированную запись твисторного уравнения (4.12.46):

и уравнения (4.14.92), выражающего фундаментальную теорему внешнего исчисления для случая изотропной гиперповерхности: