§ 2. Некоторые геометрические аспекты твисторной алгебры

Геометрический смысл твисторов наиболее ясен в случае изотропных -твисторов:

Допустим, мы имеем некоторый изотропный твистор причем . Сначала определим геометрическое место точек в в которых геометрию поля лучше всего описывать, рассматривая это множество. На радиус-вектор должен удовлетворять соотношению [см. систему (6.1.10)]

Будем считать, что спиноры не пропорциональны друг другу в точке О. Если это не так, то мы можем воспользоваться произволом, который имеется при выборе решений уравнения (6.1.9) в виде (6.1.10), и взять за начало отсчета другую точку, так чтобы спиноры удовлетворяли данному требованию. [Этого всегда можно добиться, так как в силу формулы (6.1.10) мы имеем так что при условие будет выполняться, если выбрать начало отсчета, удовлетворяющее условию .] Допустим, что требуемое условие выполняется. Тогда частное решение уравнения (6.2.2) можно записать в виде

Этот вектор действителен, так как в силу формул (6.2.1) и (6.1.74) действительно выражение в скобках. Остальные решения уравнения (6.2.2) должны отличаться от (6.2.3) слагаемым, которое дает равную нулю свертку с . Поскольку вектор действителен, эта добавка должна быть пропорциональна произведению с действительным множителем. Следовательно, общее решение уравнения (6.2.2) запишется следующим образом:

Это — уравнение изотропной прямой линии в дальнейшем именуемой лучом, идущей вдоль флагштока спинора луч проходит через точку определяемую условием в уравнении (6.2.4). Точка сдвинута относительно О в направлении флагштока спинора а следовательно, лежит на световом Отметим, что положение луча не зависит от масштабных конусе с вершиной в точке О (рис. 6.2) преобразований твистора если заменить

Рис. 6.2. Луч который определяется изотропным твнстором вдет в направлении флагштока спинора и проходит через точку смещенную относительно начала координат О в направлении флагштока спинора . В произвольной «неисключительной» точке Р (в которой спиноры не пропорциональны друг другу) флагшток спинора лежит на луче, пересекающемся с лучом

то луч при этом не изменится. И наоборот, как легко видеть, лучом твистор определяется с точностью до постоянного множителя, поскольку выражение (6.2.2) однородно по .

Если то луч оказывается расположенным на бесконечности с формулой (6.2.2)]. В этом случае (при условии, что , так как тогда , следовательно, мы говорим, что есть образующая «изотропного конуса на бесконечности». Подробнее этот вопрос рассматривается в гл. 9.