Представление твистора с помощью одноиндексных твисторов

Вернемся к твистору Считая, что он описывает момент импульса безмассовой частицы, мы можем положить [формула (6.372)]

Таким образом, в случае безмассовой частицы твистор принимает вид

Если — времениподобный вектор, ориентированный в будущее, то твистор можно представить в виде суммы выражений вида (6.3.25) (алгебраической суммы, если — совершенно произвольный вектор). Нетрудно даже показать, что любой твистор момента импульса в случае времениподобного вектора импульса, ориентированного в будущее, может быть представлен в виде

со значительным произволом в выборе твисторов Этот произвол отвечае? преобразованиям

где есть унитарная матрица и Согласно твисторной программе теории частиц, одна массивная частица описывается двумя или большим числом твисторов, причем в случае двух твисторов ее твистор момента импульса дается выражением (6.3.26), а в общем случае имеет вид

В частности, масса покоя частицы определяется суммой из слагаемых:

Преобразование (6.3.27) в случае твисторов обобщается до преобразования

где — унитарная -матрица, комплексная кососимметричная -матрица. [Отметим, что при формула (6.3.29) дает калибровочное преобразование (6.3.8), о

котором говорилось выше.] Преобразования вида (6.3.29) образуют -твисторную внутреннюю группу симметрии, или просто -твисторную группу. Закон умножения в этой группе имеет вид

И наконец, последнее замечание. Требование, чтобы вектор был времениподобным и ориентированным в будущее [причинным 2) ориентированным в будущее], в твисторной форме имеет вид требования положительной определенности [полуопределенности (по )] выражения

Таким образом, положительная определенность выражения (6.3.31) наряду с требованием симметричности и выполнения равенства (6.3.12) есть необходимое и достаточное условие того, чтобы твистор можно было представить в виде суммы (6.3.28), содержащей не менее двух независимых слагаемых.