Негржиновские поля

Заметим, что гржиновскими являются поля, удовлетворяющие уравнениям поля глобально, и не являются поля, имеющие сингулярности. Одно из негржиновских полей — хорошо знакомое нам кулоновское поле. Индекс Гржина здесь равен нулю, так что будь это поле гржиновским, оно должно было бы непрерывно продолжаться через гиперповерхность в М. Но как нетрудно видеть, на самом деле это поле меняет знак на Так, в случае положительного заряда вектор напряженности электрического поля всегда направлен радиально вовне и, следовательно, ассоциирован с направленным вовне ЭГИН (гл. 8, § 5, с. 305). Но на гиперповерхности это — ЭГИН, пронизывающее тогда как на оно идет по касательной к Э (рис. 9.14). Таким образом, знаки поля при отождествлении должны быть противоположными. В этом можно убедиться и иначе — рассмотрев универсальное накрывающее пространство пространства и продолжив поле аналитически (без изменения знака на гиперповерхности на все пространство Поскольку пространство-время пространственно замкнуто, заключенный в нем полный заряд должен быть равен нулю [например, в силу формулы (6.4.4) с Следовательно, образ мировой линии исходного заряда, который в пространственном отношении лежит в антиподальной точке сферы должен представлять заряд, противоположный исходному (т. е. отрицательный). А стало быть, продолжение исходного кулоновского поля через гиперповерхность должно быть кулоновским полем

Рис. 9.14. Антигржиновское поведение кулоновского поля. (Так как это максвелловское поле его индекс Гржина равен нулю.)

противоположного знака, что и говорит о негржиновском (анти-гржиновском) характере полного поля.

Еще один пример антигржиновского поля — поле Фавсо в случае линеаризованного решения Шварцшильда Индекс Гржина теперь равен 2, так что обычные волновые поля со спином, равным 2, меняют знак на гиперповерхности 9, тогда как линеаризованное швардшильдовское поле не меняет. Однако вскоре [формула (9.6.40)] выяснится, что при переходе от спинора Фавсо к вейлевой кривизне появляется дополнительный множитель а значит, в полной теории имеет место противоположное поведение, а именно при аналитическом продолжении решения Шварцшильда через гиперповерхность меняется знак массы [см. в § 6 первый абзац после формулы (9.6.7)].

В заключение заметим, что при любом целом или полуцелом значении спина существует много несингулярных решений уравнения для безмассовых свободных полей над всем пространством Например, можно задать любые подходящие начальные данные на пространственноподобном сечении пространства и ими будет определяться поле, несингулярное во всем пространстве Теорема Гржина указывает, что такие решения обладают любопытным типом периодичности на [Он специфичен для конкретных уравнений поля, рассматриваемых здесь. Например, в -теории безмассового поля» с уравнением поля периодичность такого типа возникнуть не могла Явные несингулярные решения на (VII легко строить твисторными методами; примером могут служить элементарные состояния, возникающие из твисторной функции (6.10.48). Индекс Гржина, равный для безмассовых полей определяется, как нетрудно сообразить, степенью однородности — твисторных функций для безмассовых полей со спиральностью . Однако здесь мы не будем на этом останавливаться.