Спинорная форма кривизны

Спинорное выражение для риманова тензора кривизны имеет вид

где

Поскольку тензор асимметричен по двум парам индексов, можно определить дуальное преобразование по второй паре индексов по первой и по обеим Результат применения дуальных преобразований к спинорному выражению (4.6.1) записывается в виде

(в правой части индексы и -спиноры опущены).

Мы определяем

так что

откуда следует запись циклического тождества

Отметим, что дважды дуальный тензор тоже удовлетворяет ему:

Вводя по определению

находим

Полевые уравнения Эйнштейна (с космологической постоянной к и гравитационной постоянной

записываются с использованием этих спинорных величин в виде

Симметричная часть спинора

называется гравитационным спинором или (конформным) спинором Вейля. Имеем

и полный тензор Римана записывается в виде

Слагаемые, которые содержат только спинор . Дают (конформный) тензор Вейля:

соответствующая тензорная форма записи такова:

Его антисамодуальная и самодуальная части имеют вид

те же результаты получаются, если использовать левое дуальное преобразование вместо правого. По аналогии с соответствующей операцией для поля Максвелла мы вводим дуальное вращение

которое соответствует преобразованию