Контортные двумерные поверхности

Величины входящие в систему (9.9.13) (точнее, их действительные и мнимые части), совместно с величинами [которые уже действительны в силу предложения (4.14.2) или соображений, изложенных в гл. 7, § 1] составляют объект, обычно называемый внешней кривизной поверхности . В формуле (4.14.20) мы рассматривали величину К, возникающую из коммутатора операторов мнимая часть которых представляет собой внешнюю кривизну другого типа, включающую производные внутри более высокого порядка, а именно

второго, подобно внутренней гауссовой кривизне Если мы рассмотрим вторую поверхность изометричную поверхности погруженную в пространство-время такую, что все ее указанные внешние кривизны совпадают с соответствующими характеристиками для , то уравнения (9.9.13) будут одинаковы для обеих поверхностей и решения, полученные для одной из них, могут быть непосредственно применены и ко второй. В частных случаях, когда можно выбрать конформно-плоским, подобное построение весьма эффективно, так как тогда допускает полное комплексное четырехмерное семейство решений (9.9.12) около получаемое непосредственно из решений (6.1.10) в с помощью конформного изменения масштаба. Далее ограничение этих решений на может быть перенесено на так что легко построить. (Процедура подобного типа была введена и впечатляющим образом применена в работе Тода [337].) Если такое погружение в конформно-плоское пространство-время существует, то мы говорим, что поверхность неконтортна. Напомним, что величины и являются конформными плотностями (5.6.28) и потому существенно не изменяются при переходе от к М. Это, однако, не так для Условие неконтортности поверхности очевидно, конформно-инвариантно.

В более общем случае, когда такое конформно-плоское пространство-время не существует, мы называем поверхность контортной. Даже и в этом случае подобное построение оказывается возможным, но теперь (конформно-плоское) пространство погружения комплексно. Величины оно переносятся (возможно, с изменением масштаба), но комплексно-сопряженные величины и а заменяются новыми независимыми комплексными величинами. Ограничивающий характер условия неконтортности поверхности определяется тремя действительными уравнениями в каждой точке поверхности 9 [одно из которых таково: