§ 2. Представление спинора Вейля на сфере S+

Для наглядности ГГИН иногда представляют точками на сфере -римановой сфере комплексного числа Напомним (см. гл. 1, § 2), что эта сфера как сечение изотропного конуса будущего в Р очень удобна для представления различных изотропных направлений будущего в точке Р. Всякое ГГИН в Р соответствует единственной точке на так что полный спинор Вейля с точностью до комплексного множителя определяется неупорядоченным набором четырех точек А, В, С и D на которые представляют четыре ГГИН в точке Р. Чтобы получать специализации типа (отличные от специализации до типа нужно лишь сдвигать некоторые из точек А, В, С, D на до их совпадения друг с другом.

Интересно рассмотреть действие на ГГИН преобразований Лоренца. Вспомним сказанное в гл. 1, § 2: любое активное преобразование Лоренца приводит к конформному отображению сферы на себя. Такие преобразования (и отображения) генерируются вращениями сферы и чистыми бустами, которые состоят в переносе всех точек на сфере кроме двух антиподальных точек и остающихся фиксированными, вдоль меридианов от полюса, совпадающего с к полюсу, совпадающему с (см. т. 1, рис. 1.7).

Указанные преобразования можно рассматривать еще и как пассивные преобразования Лоренца, оставляющие само пространство-время без изменений, но описывающие его кажущиеся изменения, которые обнаруживает наблюдатель при изменении

своей скорости и ориентации. Такой подход здесь, пожалуй, проще, ибо довольно мудрено определить активное преобразование Лоренца в точке искривленного пространства-времени. Рассмотрим, в частности, результат действия пассивных преобразований Лоренца при больших скоростях на представления ГГИН на а также результат действия предельных преобразований при скорости, стремящейся к единице. Ясно, что ни одно конечное преобразование Лоренца не может повлиять на тип спинора Вейля (т. е. на схему совпадений точек А, В, С, D), тогда как в предельном случае тип измениться может. Например, в пределе буста все точки на кроме переносятся до совпадения с , а точка остается на месте. Таким образом, спинор Вейля в общем случае приводится к одному из типов {4} [232, 253, 274]. В частных же случаях, когда с совпадают одна, две, три или четыре из точек предельными будут типы {31}, {22}, {31} или {4} соответственно.

Выше рассматривались только главные изотропные направления. Но столь же интересно и поведение самих компонент спинора Вейля (а следовательно, и тензора Вейля) при такого рода бустах. Исследование этого вопроса тоже сильно упрощается при использовании спинорного формализма. Компоненты спинора Вейля в пределе остаются конечными (не равными ни нулю, ни бесконечности) только в случае, когда предельным будет тип В общем случае, когда только одна из точек совпадает с компоненты спинора Вейля становятся бесконечными, а в случаях, когда три или четыре из точек совпадают с они равны нулю. В этом проще всего убедиться, выбрав спиновую систему отсчета так, чтобы флагшток спин-вектора отвечал точке а спин-вектора — точке Тогда рассматриваемые пассивные преобразования Лоренца определяются как [формула (1.2.37)]

а предел достигается при Таким образом получается, что

откуда следует, что стремится к бесконечности как если (т. е. если точка А не совпадает с а в противном случае (при нулю как е. То же самое относится и к из чего сразу следуют сделанные выше высказывания. Очевидно, что в обоих случаях, для того чтобы предел был конечным, масштаб компонент спинора Вейля должен в процессе предельного перехода непрерывно уменьшаться или (в зависимости от случая) увеличиваться. С физической точки зрения предельный буст, характеризуемый точками и на соответствует мировым измерениям наблюдателя, мировая

линия которого стремится к изотропному направлению, характеризуемому точкой Итак, если скорость наблюдателя не совпадает по направлению с какими-либо то он «видит», что все направленные в будущее, совпадают позади него, а большинство компонент спинора (и тензора) Вейля в его системе отсчета стремятся к бесконечности. Если же направление его скорости стремится к направлению «указывающего» в будущее простого то такое ГГИН остается в пределе фиксированным и простым, спинор Вейля имеет в пределе тип а некоторые из его компонент становятся бесконечными. Чтобы проводимые наблюдателем предельные измерения спинора Вейля давали конечные значения, его скорость должна стремиться к двукратному и тогда спинор Вейля имеет в пределе тип Если же скорость наблюдателя стремится к трехкратному или четырехкратному то его предельные измерения спинора Вейля дают нулевые значения (наблюдатель «следует за волной»), а тип спинора остается тем же самым.