§ 3. Комплексифицированное компактифицированное пространство Минковского и твисторная геометрия

Чтобы связать все сказанное с твисторами, вспомним [формула (6.2.18)], как пространственно-временная точка с радиус-вектором представляется простым кососимметричным твистором Согласно формуле (6.2.18) [см. также (6.1.46) и (6.1.47)], имеем (поскольку

Но [см. формулу (9.2.8) и рис. 9.6], выбрав стандартные координаты Минковского

можно представить точку пространства Минковского линией, проходящей через начало

пространства так чтобы при подходящих X выполнялись соотношения

Таким образом,

что

в связи с чем из уравнения (9.2.5) следует, что

Сравним формулу (9.3.6) с формулой (9.3.1). На основании установленного в формуле (3.1.31) стандартного соответствия вектор — 2-спинор с использованием обозначений (9.3.2) получаем

где выбран масштабный множитель, обеспечивающий стандартную твисторную нормировку (6.2.27), а именно когда Обратно:

Заметим, что в силу равенств а также равенств условие (6.2.31) действительности вектора означает, что

и компоненты (9.3.7), конечно, удовлетворяют этим требованиям. Линейные соотношения между дейтвительными координатами и твисторными компонентами не

могут не содержать комплексных коэффициентов. Поэтому условие «действительности» твистора не может сводиться к действительности его компонент. Это объясняется тем, что уравнение конуса записанное через эквивалентно утверждению [формула (6.2.23)], что твистор прост:

тогда как квадратичная форма

в случае, когда все компоненты действительны, будет иметь сигнатуру вместо требуемой формулой (9.2.5) сигнатуры . В конечном итоге спиноры оказываются существенно комплексными объектами. Следовательно, чтобы разобраться в твисторной геометрии, необходимо проанализировать комплексную геометрию и, в частности, рассмотреть процедуру комплексификации встречавшихся нам действительных пространств.

Обозначим через и комплексификации пространств и соответственно. Координаты Т, пространства будут теперь комплексными переменными, принимающими значения на всем множестве комплексных чисел Исходное пространство является действительным шестимерным подпространством пространства (которое само, если его рассматривать как действительное пространство, является -мерным), определяемым равенством нулю мнимых частей всех координат. Пространство допускает комплексно-аналитическую метрику, которая формально задается тем же выражением (9.2.4), что и метрика для Тогда комплексифицированный световой конус описывается комплексным уравнением (9.2.5), а комплексифицированное пространство Минковского является пересечением конуса с комплексной -плоскостью Комплексное проективное пространство — это пространство комплексных прямых, проходящих через начало пространства а его координатами служат пять независимых комплексных отношений Комплексифицированное компактифицированное пространство Минковского — это пространство комплексных образующих конуса т. е. локус комплексного уравнения (9.2.5) в . И наконец, определяется как пересечение с комплексной плоскостью (но, строго говоря, без точки I).