9. Конформная бесконечность

§ 1. Бесконечность в случае пространства Минковского

Одной из областей наиболее эффективного применения 2-спи-норных методов оказалось исследование асимптотических проблем теории относительности. Примером таких проблем, имеющим важное значение, может служить определение полной величины энергии-импульса, содержащейся в асимптотически плоском пространстве-времени, и гравитационного излучения. В этом случае спинорные методы особенно эффективны в сочетании с методом [234, 236, 237], при котором путем конформного преобразования метрики «бесконечность делается конечной». При таком методе мы преобразуем метрику пространства-времени заменяя исходную физическую метрику новой, «нефизической» метрикой конформно-связанной с

где — достаточно гладкая и всюду положительная функция, определенная на Метрический тензор и обратный ему тензор преобразуются по формулам

Если обладает соответствующей асимптотической структурой и выбран подходящий конформный множитель то к можно «присоединить» некоторую граничную поверхность 3 [это обозначение читается «скрай» — аббревиатура от «script I»]. Эта поверхность вводится таким образом, что «нефизическая» метрика может быть продолжена до лежащих на границе новых точек без вырождения и с определенной степенью гладкости. Функция Й тоже может быть продолжена с соответствующей степенью гладкости, но на поверхности обращается в нуль. Это означает, что физическая метрика должна быть на границе У бесконечной, а потому не может быть на нее продолжена. Так что в плане физической метрики новые точки (а именно точки на поверхности бесконечно удалены от

соседних с ними точек. В физике это соответствует «точкам в бесконечности».

Присоединение поверхности к такого рода пространству-времени дает нам гладкое многообразие с границей, которое мы будем обозначать символом причем

— символ границы, — символ внутренней области многообразия). Преимущество предлагаемого подхода заключается в том, что теперь можно применить к мощные локальные методы дифференциальной геометрии и спинорной алгебры, которые будут давать информацию об асимптотике пространства-времени Таким образом, при исследовании важнейших законов убывания физических и геометрических величин, например в вопросах, связанных с излучением в асимптотически-плоском пространстве-времени, отпадает необходимость в сложных предельных переходах. Да и само определение асимптотической евклидовости в общей теории относительности может быть теперь дано в удобной «бескоординатной» форме. Конформные методы очень подходят для теории относительности по той простой причине, что многое в ней является конформноинвариантным: уравнения для безмассового свободного поля, конформный тензор Вейля, изотропные геодезические, изотропные гиперповерхности, релятивистская причинность и (особенно в случае пространства Минковского) теория твисторов. Предлагаемый метод подобен используемому в комплексном анализе, где для получения римановой сферы «точку на бесконечности» присоединяют к аргандовой плоскости (гл. 1, § 2), а также методу, используемому в проективной геометрии.

Описание в явно координатной форме

Сначала рассмотрим процедуру построения конформной бесконечности для пространства Минковского М. В этом случае физическая метрика в сферических координатах имеет вид

Для удобства введем два параметра времени: запаздывающий и опережающий Получим

Свобода в выборе конформного множителя довольно велика. Однако в случае интересующего нас здесь пространства-времени (а именно асимптотически-простого) из общих соображений [см. текст после формулы (9.7.22)] функцию нужно выбрать так, чтобы она вдоль любого луча стремилась к нулю (и в прошлом, и в будущем) как величина, обратная аффинному параметру луча А, (т. е. при при вдоль луча). Всякая гиперповерхность представляет собой световой конус будущего, построенный из лучей (изотропных прямых линий), для которых величины 0 и тоже остаются постоянными. Координата играет роль аффинного параметра будущего каждого из этих радиальных лучей. Аналогично координата и служит аффинным параметром прошлого этих лучей. Следовательно, нужно потребовать, чтобы выполнялись условия при и на луче при и на луче Если мы к тому же хотим, чтобы функция была гладкой на конечных кусках пространства-времени, то сам собой напрашивается выбор

(множитель 2 введен для удобства в дальнейшем), и тогда

Допустимы и многие другие формы функции , но эта, как мы скоро убедимся, оказывается особенно удобной.

Чтобы нашим «точкам на бесконечности» соответствовали конечные значения координат, следует и и о заменить параметрами такими, что

Тогда

Пределы изменения переменных и указаны на рис. 9.1, где каждая точка представляет 2-сферу радиусом Вертикальная прямая соответствует пространственному началу координат и представляет всего лишь координатную сингулярность. Само же пространство-время на этой прямой (да и всюду), конечно, несингулярно. Наклонные прямые изображают (изотропную) бесконечность (обозначаемую символами соответственно) пространства Минковского (ибо этим прямым отвечают значения Но метрика (9.1.5), очевидно, идеально регулярна на этих прямых. Можно ожидать, что пространство-время

Рис. 9.1. Область пространства соответствующая пространству М. Прямая значит, и является осью сферической симметрии.

и его метрика будут несингулярными и вне этих областей. Вертикальная прямая тоже является координатной сингулярностью точно такого же типа, что и прямая Всю вертикальную полосу можно использовать для определения пространства-времени глобальная структура которого отвечает произведению пространственноподобной 3-сферы и бесконечной времениподобной прямой («статическая вселенная Эйнштейна»). Чтобы убедиться в этом, выберем новые координаты

что

Часть этой метрики, заключенная в фигурные скобки, есть метрика единичной 3-сферы.

Часть пространства-времени конформную исходному пространству Минковского, можно рассматривать как пространство, заключенное между световыми конусами точек Точка имеет координаты , а точка — координаты Эта часть «обертывается» вокруг

Рис. 9.2. Область на эйнштейновском цилиндре соответствующая пространству М.

и замыкается с «тыльной» стороны в единственной, точке с координатами Заметим, что в точке а это и говорит о том, что точку следует рассматривать как единственную точку, а не 2-сферу. Рассматриваемая ситуация изображена на рис. 9.2, где отброшены два измерения. Два-пространство Минковского конформно внутренней части квадрата (изображенного наклоненным на 45°). Этот квадрат обертывается вокруг цилиндра, который представляет собой двумерный вариант статической вселенной Эйнштейна. Учет недостающих измерений ничего существенно не изменяет. Вблизи точки интересующая нас область находится внутри светового конуса будущего, связанного с точкой Этот световой конус (т. е. точечное множество, «ометаемое» лучами, которые идут из точки в будущее) фокусируется на задней стороне вселенной Эйнштейна в одной точке (которая в пространственном отношении диаметрально противоположна точке Вблизи точки интересующая; нас область (пространства Минковского) простирается в пространственноподобных направлениях от Световой конус будущего для точки опять же фокусируется в одной точке пространственное положение

которой соответствует положению точки Вблизи интересующая нас область лежит внутри светового конуса прошлого для точки

Отрезки лучей, соединяющие точки ометают часть границы области пространства Минковского, которую мы обозначили через Точно так же отрезки лучей, соединяющие точки и ометают границу Сами же точки считаются не относящимися к границе или Точка имеет физический смысл временной бесконечности прошлого, граница изотропной бесконечности прошлого, точка — пространственной бесконечности, граница изотропной бесконечности будущего и точка — временной бесконечности будущего. Эта терминология станет понятной, если проанализировать ход прямых (по отношению к метрике Минковского линий в пространстве Минковского. Времениподобная прямая достигает концевой точки прошлого а также концевой точки будущего Изотропная прямая достигает концевой точки прошлого, лежащей на и концевой точки будущего, лежащей на Времениподобная прямая линия становится замкнутой кривой, проходящей через точку (Во всем этом нетрудно убедиться путем «прямых» рассуждений.) Поскольку лучи после конформных преобразований остаются лучами, изотропные прямые при переходе к метрике становятся лучами, но времени-подобные и пространственноподобные прямые, вообще говоря, не будут геодезическими по отношению к