ГНП и ГНБ

При исследовании кривых в пространстве Минковского вопрос о достигаемых ими концевых точках несколько усложняется. Например, винтовая линия хотя и является изотропной кривой, имеет концевую точку прошлого в точке , а концевую точку будущего — в точке (и в обеих концевых точках полная кривая не является гладкой). Времениподобная же кривая гладко достигает концевой точки прошлого на границе и концевой точки будущего на границе . К тому же легко найти пространственноподобные кривые, достигающие концевых точек либо на обеих границах , либо в точке Если ограничиться только причинными кривыми (т. е. кривыми, которые всюду либо времениподобны, либо изотропны; а это в обоих случаях единственные кривые, вдоль которых распространяются частицы и информация), то можно указать очень простой критерий (целиком опирающийся на характеристики самого пространства Минковского М), позволяющий определить, достигают ли две такие кривые одной и той же концевой

точки прошлого или концевой точки будущего и лежат ли эти точки на границе или в точке

Чтобы установить этот критерий, рассмотрим произвольное множество точек 2 в пространстве (VI и обозначим через подмножество пространства М, состоящее только из тех точек, которые могут быть достигнуты направленной в будущее времениподобной кривой, выходящей из некоторых точек множества 2. Иными словами, — это (открытое) будущее множества 2. (О том, почему оно будет открытым множеством в М, см. работы [245, 125].) Аналогично, пусть прошлое множества 2. Тогда если а — любая причинная кривая с (конечной) концевой точкой прошлого Р в М, то будущее точки Р совпадает с множеством Этим свойством не обладает никакая другая точка в (в чем читателю нетрудно будет убедиться самому; полное доказательство можно найти в работе [104]). Таким образом, любая другая причинная кривая тоже имеет в точке Р свою концевую точку прошлого только в том случае, если Преимущество этого критерия состоит в том, что он применим и в случае, когда — кривые, бесконцевые в прошлом (т. е. неограниченно продолжимые в прошлое и не достигающие конечных концевых точек прошлого в М): такие кривые достигают одних и тех же концевых точек прошлого, лежащих на или совпадающих с только в том случае, когда (рис. 9.3). (Они, очевидно, не могут иметь концевые точки прошлого в или на Отсюда следует, что бесконцевая в прошлом причинная кривая а достигает концевой точки прошлого в точке или на в зависимости от того, является ли

Рис. 9.3. Две причинные кривые и имеют одну и ту же концевую точку на гиперповерхности в том и только в том случае, когда у них одинаковое будущее.

множество всем пространством М или нет (так, например, будущим оси времени является все пространство М). Точно так же бесконцевая в будущем причинная кривая а достигает точки или точки на в зависимости от того, является ли всем пространством М или нет; более того, бесконцевая в будущем кривая достигает на бесконечности той же точки, что и кривая в том и только в том случае, если

Эти критерии особенно ценны тем, что они применимы и в искривленном пространстве. Множества типа где а — бесконцевая в прошлом причинная кривая, называются граничными неразложимыми множествами будущего множества же типа с бесконцевой в будущем причинной кривой а называются граничными неразложимыми множествами прошлого Ими можно воспользоваться для того, чтобы дать определения прошлых/будущих границ в пространстве-времени самого общего вида [307,104]. Границы ГНБ и тоже представляют определенный интерес. Они порождаются лучами, которые являются бесконцевыми в будущем или прошлом, соответственно [245, 125]. В случае пространства Минковского (VI эти границы (если они не пустые) являются изотропными гиперплоскостями в М, т. е. множествами, описываемыми уравнениями типа где и В — постоянные и — изотропный вектор. Это будет иметь существенное значение в следующем параграфе.

Итак, требуемое конформное многообразие (с границей) (VI состоит из исходного пространства Минковского (VI с его конформной метрикой и двух граничных 3-поверхностей и Однако точки исключаются из М, ибо граница не была бы в этих точках гладкой. Мы видим, что границы имеют топологию где сфера параметризована сферическими полярными углами а пространство — запаздывающим временем и в случае границы и опережающим временем в случае границы