6. Твисторы
§ 1. Твисторное уравнение и пространство его решений
В первом томе мы неоднократно подчеркивали, что два-спинорное исчисление оказывается исключительно полезным при изучении структуры многообразий пространства-времени. Действительно, четырехмерность и сигнатура 
а также требуемые глобальные свойства пространственной ориентируемости, ориентируемости во времени и существования спиновой структуры могут рассматриваться в известном смысле не как заданные наперед, а как выводимые из свойств двухкомпонентных спиноров. До сих пор значимость такого подхода представлялась ограниченной, поскольку само многообразие точек пространства-времени все же считалось заданным, хотя его природа в какой-то мере определялась требованием существования спиновой структуры. Если принимать всерьез мысль о том, что все свойства пространства-времени должны выводиться из более фундаментальных спинорных свойств, то нам нужно было бы найти подход, при котором точки пространства-времени можно было рассматривать как производные объекты.
Спинорная алгебра недостаточно богата, чтобы служить основой такого подхода, но определенное ее расширение, а именно алгебра твисторов, действительно может рассматриваться как первичное по отношению к пространству-времени. Более того, оказывается возможным дать определение других физических понятий, исходя непосредственно из понятия твисторов и не обращаясь к промежуточной стадии точек пространства-времени. По существу цель твисторной теории состоит в том, чтобы всю фундаментальную физику перевести на твисторный язык. С известной долей спекулятивных рассуждений и различной степенью полноты понятия точки пространства-времени, кривизны, энергии-импульса, момента количества движения, квантования, структуры элементарных частиц и их внутренних квантовых чисел, волновых функций, полей в пространстве-времени (включая их нелинейные взаимодействия) могут быть определены более или менее прямым путем на основе исходных положений теории твисторов.
Однако теория твисторов весьма сложна в математическом отношении. Чтобы с достаточной полнотой и общностью
изложить все аспекты теории, упомянутые выше, потребовалась бы книга, намного превосходящая этот том. (Некоторые из указанных вопросов будут рассмотрены в книге [361].) Во всяком случае, чтобы полностью оценить теорию твисторов и научиться пользоваться ею, необходимо изучить теорию спиноров, в основном те ее результаты, которые изложены в первом томе. Таким образом, мы отнюдь не претендуем на полноту изложения теории твисторов. Будет дано лишь расширенное (пожалуй, несколько одностороннее) введение в предмет. Мы подробно изложим в основном ту часть теории, которая связана со спинорными описаниями твисторов, и итметим глубокую связь твисторов с понятиями энергии-импульса, момента количества движения, а также безмассовых полей. Мы не будем подробно обсуждать, в каком смысле твисторы можно считать объектами более элементарными, чем точки пространства-времени, не будем также долго останавливаться на вопросах квантования, теории частиц и нелинейной теории поля. Всюду в этой главе, кроме раздела о локальных твисторах в общем искривленном пространстве-времени (а теория локальных твисторов находится несколько в стороне от общей теории твисторов), мы будем рассматривать твисторы в основном в пространстве-времени Минковского М, хотя и будем всякий раз подчеркивать связь с аналогичными свойствами в искривленнном пространстве-времени. В гл. 7, § 4 мы укажем на некоторые приложения теории твисторов для случая произвольного пространства-времени 
(в частности, их связь с гиперповерхностью 
. В гл. 9, § 5 будет показано, как твисторы могут быть использованы в космологических моделях. В гл. 9, § 9 мы введем понятие твисторов на 2-поверхности и покажем, как теория в плоском пространстве-времени, изложенная в § 3—5 данной главы, преломляется в контексте искривленного пространства, а также предложим квазилокаль-ное (и асимптотическое) определение массы-импульса-момента импульса в области, ограниченной 2-поверхностью (причем асимптотическое определение массы-импульса будет согласоваться со стандартным определением Бонди — Сакса). Однако нам пришлось опустить большую часть теории твисторов в произвольном искривленном пространстве-времени. К сожалению, твисторное описание кривизны — один из наиболее сложных и развитых (и даже наиболее интересных, хотя и не до конца решенных) вопросов теории — остается за рамками нашей книги. (См. [252, 254, 122, 336, 342, 358, 267, 285, 131, 13, 366].) Существует много замечательных приложений теории твисторов уже в приближении слабого поля в теории относительности (§ 4, 5). Этот материал будет существенно использоваться в гл. 9, § 9 при обсуждении искривленного пространства. (См. также [141].)
