Спиноры: Десять интегралов, равных нулю

Правая часть равенства (6.5.51) тождественно равна нулю при любом распределении источников, если т. е. если Из соотношения (6.5.23) следует, что при этом действительная часть вектора в формуле следовательно,

— см. формулу (6.1.66)] равна нулю во всем пространстве. Тогда из равенств (6.1.50) и (6.1.51) следует, что независимо от того, выполняются ли условия причинности и ориентированности в будущее для 4-вектора импульса, твистор имеет вид произведения момента) [формула (6.3.11)] и, следовательно, этот твистор возникает из калибровочного слагаемого в преобразовании (6.5.20), как и предполагалось. Этим доказывается утверждение, сделанное на с. 97, что десять интегралов (6.5.52) всегда равны нулю, если удовлетворяет уравнениям (4.12.42) для свободного безмассового поля в окрестности поверхности при условии, что Фавсо продолжается до тензора с симметриями тензора Римана, который определен на всем 3-объеме ограниченном поверхностью и удовлетворяет уравнению (5.7.9), имеющему вид «тождеств Бианки». Это же условие для в окрестности поверхности можно сформулировать в виде требования, чтобы в существовало возмущение метрики такое, что спинорное поле Фавсо выражается через него по формуле (5.7.12). Поскольку возмущение такого вида может быть гладко

продолжено (произвольным способом) на весь объем тензор требуемого типа можно построить по формуле (5.7.4).

Интересно, что в то время как уравнение (4.12.42) для свободного безмассового поля конформно-инвариантно [формула (5.7.17)], указанное дополнительное условие для таковым не является. Например, если на определено конформное преобразование, переводящее метрику в плоскую (в области то оно индуцирует преобразование в при котором единичный твистор , вообще говоря, изменяется. (Подробнее см. гл. 9, § 3, 5.) Чтобы возникали нулевые интегралы, твистор должен приводиться к виду (6.5.22). Последнее выражение явно содержит твистор , следовательно, не инвариантно. В действительности можно выбрать такие решения безмассовых уравнений (в области специального вида), что все 20 интегралов (6.5.22) будут иметь независимо произвольные значения.