Деситтеровская и антидеситтеровская модели; твисторы ...

Среди космологических моделей ФРУ особого внимания заслуживают деситтеровская и антидеситтеровская модели вместе с пространством Минковского. Дело в том, что в этих пространствах (и только в них) имеются расширенные группы симметрий, вследствие чего сечения геометрически не выделяются. Оказывается, что можно дать описание пространства де Ситтера [306, 292] как моделей ФРУ с или 0, хотя только в случае это описание будет иметь глобальный характер. Пространство Минковского описывается с помощью моделей ФРУ с или (глобальным описание будет только в случае Антидеситтеровское пространство можно описать с помощью предпоследнего типа модели да и то не глобально.

Один из способов описания полной деситтеровской модели основан на использовании введенных в § 2 координат Т, и но не как проективных координат пространства Р, а ограниченных [в пространстве с метрикой (9.2.4)] на некоторой гиперповерхности

где — действительная константа. Тогда уравнение (9.2.5) квадрики позволяет рассматривать пространство де Ситтера как «псевдосферу»

«радиусом» . В пространстве из модели теперь исключена именно точка так что, убрав из пространства гиперплоскость мы получим пространство, конформное пространству Это очень похоже на случай с единственным отличием, что в случае пространства удаляемая гиперплоскость в пространстве касается пространства в точке I,

Случай антидеситтеровского пространства аналогичен, но теперь нужно ограничить координаты в пространстве на гиперплоскости

так что мы получим гиперсферу с другой сигнатурой [по-прежнему используя для пространства метрику (9.2.4)]:

Пространство теперь получается в результате удаления из квадрики гиперплоскости (Строго говоря, анти-деситтеровское пространство является универсальным накрывающим пространством этого пространства [242, 125].)

Гиперплоскость в пространстве можно задать в твисторной форме с помощью антисимметричного твистора («действительного» в обычном твисторном смысле, т. е. комплексно-сопряженный твистор и твистор дуальный исходному, равны). Разумеется, мы можем также считать, что твистор представляет точку Н в пространстве но эта точка является просто полюсом гиперплоскости относительно квадрики М. Точка Н и гиперплоскость дают одинаковую информацию. [Это геометрический эквивалент «подъема индексов» твистора с помощью метрики

Выше нам встретились три такие гиперплоскости, а именно Удаление каждой из пространства М дает деситтеровскую, антидеситтеровскую модели и пространство Минковского, соответственно. Формула (9.3.7) позволяет перейти к стандартным твисторным координатам:

В результате можно следующим образом определить область, удаляемую из М (используя твистор вместо

где

в случаях деситтеровского, антидеситтеровского пространств и пространства. Минковского, соответственно. Последняя форма твистора имеет стандартный вид (6.2.25) и является твистором бесконечности пространства Минковского. Теперь же мы получили соответствующие твисторы бесконечности для деситтеровского и антидеситтеровского пространства-времени. Более того, конкретные масштабные множители, указываемые в соотношениях (9.5.12), позволяют нам пойти еще дальше и определить фактическую метрику соответствующего пространства-вре-мени, потребовав в пространстве выполнения уравнения

[ср. с формулами (9.5.8), (9.5.9), (9.2.6), соответственно, и формулой (9.5.12); в случае пространства Минковского это стандартная нормировка (6.2.27)].

Можно считать, что уравнением (9.5.13) определяется подмножество (сечение гиперплоскостью) конуса (см. рис. 9.6), описываемого уравнением (9.2.5), т. е.

в пространстве Метрика пространства определяется формулой (9.2.4), т. е.

и у нас есть стандартное условие действительности Как мы выяснили в § 2, все сечения конуса локально конформно-тождественны (конформно-плоские), и выбор той или иной метрики из полного конформного класса определяется простым заданием конкретного сечения. В случаях деситтеровского, антидеситтеровского пространств и пространства Минковского эти сечения обладают особым свойством: все они определяются линейным уравнением, а именно уравнением (9.5.13), где твистор (для сохранения действительнозначности) должен удовлетворять условию

и без потери общности может считаться кососимметричным:

Деситтеровское, антидеситтеровское пространства и пространство Минковского различаются соответствующими значениями произведения

или, что эквивалентно, значениями произведения

При наличии формул (9.5.16)-(9.5.18) становятся излишними явные формы записи типа (9.5.12). В каждом отдельном случае действующая в данном пространстве группа симметрий деситтеровская группа, группа Пуанкаре) появляется как подгруппа группы оставляющая инвариантным твистор (см. предпоследний абзац § 2). Особенно простая форма метрики во всех этих случаях позволяет сразу написать выражения для геодезического расстояния (равного временному интервалу) между точками, представляемыми твисторами

Первое относится к деситтеровскому пространству, а второе — к антидеситтеровскому. (Это можно проверить, снова вернувшись к описанию в координатах Эти формулы можно сравнить с соответствующей формулой (6.2.30) для пространства Минковского, которую можно заново вывести из формулы (9.5.20), перейдя к пределу при Существует также вариант формул (9.5.20), соответствующий формуле (6.2.26). Он не требует нормировки вида (9.5.13) и относится непосредственно к описанию в пространстве Его можно получить, просто заменив выражения, стоящие в формуле (9.5.20) в круглых скобках, величиной