Переход от тензоров к спинорам

В предшествующем обсуждении неявно присутствовала процедура перехода к спинорной форме записи тензорных объектов (элементов различных пространств вида с использованием величин а также производных от них величин с поднятыми, опущенными индексами и их редуцированных частей [формула

Используя эти величины, при желании можно было бы исключить все тензорные индексы, введя вместо них спинорные [см. формулу (Б.55) ниже при Для тензоров, содержащих антисимметричные индексы (или группы таких индексов), процедура оказывается несколько более экономичной, поскольку величины

[формула (Б.21)] могут быть непосредственно использованы для трансляции целого блока таких индексов в единственную пару спинорных индексов. Кроме того, из изложенного выше следует, что величины обладают особыми свойствами

симметрии. Считая, что полное число индексов с равно находим, что при нечетных

а при четных имеем:

причем редуцированные части тензора со штрихованными/нештрихованными индексными структурами, отличными от этой, равны нулю. Соотношения остаются справедливыми, если верхние/нижние положения индексов поменять местами.

Свойство получается повторным действием оператора на величину с учетом равенства а также с использованием следующего правила поднятия индексов:

[см. формулу (Б.34а) и ср. с формулами (2.5.14), (2.5.15)]. Свойства следуют из равенств

[см. формулы (Б.32), (Б.416) и (Б.48) в повторяющемся применении к величине Правило поднятия штрихованных и нештрихованных заглавных индексов остается тем же, что и в формуле [несмотря на то, что при штрихованные индексы переводятся в нештрихованные и наоборот].

Перевод спиноров в тензоры; фундаментальные спиноры

Отметим, что указанная процедура перехода от тензорных величин к спинорным в известном смысле обратима: она позволяет выразить всякий спинор нечетное), а также редуцированный спинор или четное) через тензор (с точностью до знака). В самом деле, различными величинами

или

или

с разным числом индексов , вместе взятыми, в каждом случае спинор определяется с точностью до знака. Отметим, что для этого из тензоров нужны те, которые симметричны по парам индексов или т. е. [в силу формулы для которых число индексов с удовлетворяет условию

Особый интерес представляет случай, когда

или

Если все выражения равны нулю при всех значениях кроме одного или двух, определяемых соотношениями то величина называется фундаментальным спинором. (Термин «фундаментальный спинор» используется в смысле «редуцированный», если — четное.) Отметим, что в силу условия спинор всегда является фундаментальным при

Особое значение фундаментальные спиноры приобретают в связи с тем, что соответствующие (отличные от нуля) кососимметричные тензоры обязательно являются простыми, т. е. [в силу предложения (3.5.30)]

Аналогичное условие справедливо для когда число четно, а также два аналогичных условия записываются при нечетном Здесь мы не приводим доказательство равенства но отметим одно его интересное геометрическое следствие: всякий фундаментальный спинор может быть представлен с точностью до множителя -плоскостью, проходящей через начало координат в векторном пространстве четное), или парой, состоящей из — -плоскости и -плоскости, тоже проходящих через начало координат в нечетное). В нечетномерном случае мы также имеем две плоскости, но они взаимно-ортогональны [в силу соотношений так что можно рассматривать только одну -плоскость. В силу тех же условий в нечетномерном случае -плоскость сама образует свое

ортогональное дополнение, т. е. является (анти-)самодуальной. Это свойство (анти-)самодуальности даже не зависит от условия простоты тензора а связано с тем, что используется лишь величина все спинорные индексы которой нештрихованные, и не используется величина со штрихованными индексами. Более общий характер носит следующее утверждение: всякий элемент пространства можно представить в виде

где Он будет самодуальным или антисамодуальным в том и только в том случае, если одно из слагаемых суммы равно нулю.

Из (анти-) самодуальности совместно с условием следует, что при четных

причем группы содержат по индексов; выполняется также штрихованный вариант соотношения Если же нечетное, то соответственно имеем

где либо обе группы а содержат по индексов, либо одна из них содержит вторая индексов; последний случай соответствует условию простоты [формула с заменой заглавных латинских индексов греческими], поскольку величины в скобках в формуле в этом случае взаимно-дуальны. [Доказательства этих утверждений аналогичны доказательству соотношения и мы здесь на них не останавливаемся.]