Рис. 9.20. Когда гиперповерхность 
изотропна, направление вектора 
в точке на 
не зависит от выбора луча у, но это перестает быть верным, если гиперповерхность 
пространственноподобна (или времениподобна) — плоскость, натянутая на изотропные векторы 
должна быть такой, чтобы она содержала нормаль 
Это означает, что определение поля излучения (член, изменяющийся как 
в случае пространствениопо-добной (или времениподобной) гиперповерхности 
менее инвариантно, нежели в случае изотропной.
(9.6.25). Когда граница 
изотропна, это означает, что вектор 
считается направленным вдоль изотропного направления будущего на 
Если же граница 
не изотропна (и во времени-подобном случае не касается луча 7), то изотропный вектор будущего на 
можно выбрать так, чтобы он лежал во времениподобной 2-плоскости, натянутой на векторы 
но, разумеется так, чтобы он отличался от 
(рис. 9.20).
При таком подходе 
и на первый взгляд кажется, что интегрирование уравнения (9.7.11) должно давать величину 
ведущую себя в точке Р как 
. При таком поведении мы получили бы требуемое в формуле (9.7.23) условие 
но оно портит форму степенного ряда для членов высших порядков в формуле разложения компонент (9.7.4). Однако на самом деле оказывается, что коэффициент стремится в точке Р к нулю как величина, квадратичная по конформному множителю, и в результате логарифм исключается. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим разность двух частей слабого равенства (9.7.24). Согласно лемме (9.6.38), существует определенный вдоль луча у ковектор 
(класса гладкости 
такой, что
Если применить к этому равенству операцию ковариантного дифференцирования (с оператором 
а полученный результат свернуть со спинором 
то, воспользовавшись еще раз первым асимптотическим эйнштейновским условием (9.6.21) и формулой (9.7.15), мы получим
откуда в соответствии с формулой (9.6.38) следует равенство
где 
— непрерывный (класса 
на луче у скаляр. Подставив (9.7.27) и (9.7.25) в (9.7.12) мы, как и утверждалось, получим
Тогда из (9.7.11) следует регулярное (класса 
в точке Р выражение
Теперь на основании формул (9.7.23) и (9.7.22) можно написать разложение вида
причем коэффициенты 
постоянны вдоль луча 7. В то же время из (9.7.8) следует равенство
так, чтобы выполнялись условия 
в точке Р, поскольку в этом случае две спиновые системы отсчета будут согласованы 
том смысле, что 
и 
. Вследствие этого коэффициент 
в (9.7.11) в точке Р должен быть равен нулю, иначе интегрирование уравнения (9.7.11) давало бы величину 
ведущую себя в точке Р как не равное нулю кратное множителя 
. Согласно формуле (9.7.12), это означает, что 
должен быть линейной комбинацией спиноров 
, т. е.
