Сравнение аффинных параметров

Теперь сравним аффинные параметры на у. Пусть — ассоциированный с [формула (9.7.3)] аффинный параметр на луче у с началом в точке Р:

(Символ теперь означает «равенство в точке Р»; нас не интересует происходящее на другом конце луча Согласно условию определения (9.6.11), Кроме того, предполагается отсутствие контакта между лучом у и границей . В результате имеем

где А — некоторая не равная нулю величина (постоянная вдоль Отметим, что

так что эта величина А в изотропном случае совпадает с концевым значением А в формуле (9.6.27). Поскольку — гладкая функция класса можно написать

где — постоянные. Но так как вектор изотропен и из асимптотического эйнштейновского условия (9.6.21) следует, что

так что в выражении (9.7.16)

Но

откуда в силу соотношений (9.7.16), (9.7.18) следует выражение

где все коэффициенты В и С постоянны на у, а Со — постоянная интегрирования. Обращение формулы (9.7.20) при больших дает

Подставив это выражение в формулу (9.7.16), получим

причем все коэффициенты D и Е снова постоянны на 7.

Формулой (9.7.22) доказывается сделанное в § 1 утверждение о том, что конформный множитель вдоль любой изотропной геодезической изменяется обратно пропорционально ее аффинному параметру. При этом но выражение (9.7.22) позволяет значительно детальнее проанализировать поведение конформного множителя. (Разумеется, можно выбрать масштаб параметра так, чтобы получить значение если в этом, конечно, есть необходимость.) Примечательно, что вытекающее из вакуумных уравнений Эйнштейна асимптотическое эйнштейновское условие (9.6.21) является необходимым условием исключения логарифмического члена из выражений (9.7.20) -(9.7.22), ибо именно оно гарантирует выполнение равенства (9.7.18). Не менее интересно, что то же эйнштейновское условие (9.6.21) исключает второй возможный источник логарифмических членов, теперь уже при сравнении двух спиновых систем отсчета, к которому мы сейчас и перейдем.