Различные типы комплексных точек в СМ*

До сих пор мы рассматривали роль вышеописанной действительнозначной структуры в связи с точками в пространстве . В самом пространстве можно выделить шесть различных (конформно-инвариантных) областей. Точку можно задать комплексным радиус-вектором

исходящим из действительной начальной точки О (причем и — действительные мировые векторы). Свойства вектора связанные с его пространственноподобностью/времениподобностью, а также свойства его ориентированности в будущее/прошлое, очевидно, инвариантны относительно действительных переносов начальной точки О. Имеет место и инвариантность по отношению к конформным изменениям масштабов, хотя она и менее очевидна из-за более сложного поведения формулы (9.3.23) при такого рода конформных преобразованиях. Эта инвариантность является следствием сформулированного ниже предложения (9.3.24) (рис. 9.10), справедливого и в случае (в котором достаточно изменить масштаб так, чтобы новая комплексификация не содержала точки

Предложение

Точка с радиус-вектором в произвольном стандартном репере Минковского, имеющим мнимую часть, которая: 1) времениподобна и направлена в будущее, 2) изотропна и направлена в будущее, 3) пространственноподобна, 4) изотропна и направлена в прошлое, 5) времениподобна

Рис. 9.10. Причинное описание мнимой части радиус-вектора точки пространства имеет (действительный) конформно-инвариантный смысл. В пространстве это обнаруживается в том, как соответствующая прямая пересекает всевозможные области пространств и

и направлена в прошлое или, наконец, 6) равна нулю, соответствует прямой которая: 1) полностью лежит в лежит в но в одной точке касается пересекает все три подпространства и лежит в но в одной точке касается полностью лежит в и полностью лежит в соответственно. (9.3.24)

Доказательство. Пусть твистор инцидентен с точкой так что лежит на прямой тогда

Выполнив свертку с и выделив действительную часть, получим

Анализ этого соотношения в различных случаях и дает искомый результат.

Соотношение между пространствами и прошлым/будущим в предложении (9.3.24), обусловленное другими нашими соглашениями, на первый взгляд может показаться «неестественным» с точки зрения обозначений. Но следует иметь в виду, что область называемая трубкой будущего [см. третий абзац после формулы (6.10.47)], в которой квантовые поля, распространяющиеся в нормальном направлении будущего, должны быть голоморфными, является куском (вектор времениподобен и направлен в прошлое) пространства соответствующим прямым линиям в пространстве Точно так же трубка прошлого соответствует пространству и полям, распространяющимся в прошлое.

В связи с предложением (9.3.24) отметим, что если твистор как и выше, соответствует точке и выполняется соотношение (9.3.23), то

Произведение является положительно-[отрицательно]-полуопределенным в плоскости если — причинный вектор, направленный в прошлое [будущее].

Чтобы доказать утверждение (9.3.26), из которого следует (9.3.25), нужно принять во внимание, что произведением представляется пересечение прямой с плоскостью и воспользоваться предложением (9.3.24).