Безмассовые свободные поля
Выше мы записали полевое уравнение (4.12.42) для свободного безмассового поля 
со спином 
индексов). Комплексно-сопряженная форма этого уравнения
также описывает свободное безмассовое поле со спином 
но между этими полями существует определенное различие, а именно если мы рассматриваем положительно-частотные волновые функции, то (5.7.3) описывает правополяризованные безмассовые частицы [спиральность 
], тогда как (4.12.42) описывает левополяризованные частицы [спиральность 
]. Отметим также, что, вообще говоря, эти уравнения выполняются только в (конформно) плоском пространстве-времени, поскольку выкладки
приводят к уравнению связи Фирца — Паули — Бухдала — Плебаньского
Случай 
четырехмерного пространства Минковского М представляет особый интерес, поскольку в этом случае уравнения для безмассовых полей совпадают с линеаризованными уравнениями общей теории относительности. Мы полагаем, что метрика пространства-времени 
является гладкой функцией параметра и, причем 
есть метрика Минковского и
Получаем
для кривизны в приближении слабого поля, а уравнения Эйнштейна в этом пределе имеют вид
— тензор энергии-импульса в приближении слабого поля). Тензор 
обладает симметриями тензора Римана и в отсутствие источников допускает спинорное описание вида (4.6.41):
В отсутствие источников флвсо удовлетворяет уравнению (4.12.42) для безмассового свободного поля 
в силу линеаризованных тождеств Бианки
Выражение через линеаризованную метрику 
таково:
Свойства при конформных изменениях масштаба
Уравнение для безмассового свободного поля (4.12.42) сохраняет свой вид при конформных изменениях масштаба при любом 
если положить
поскольку в этом случае из соотношения (5.6.15) следует равенство
Другое конформно-инвариантное уравнение — равенство нулю
ковариантной дивергенции бесследового симметричного тензора 
Действительно, если
то из (5.6.15) мы получаем
Мы видели, что электромагнитный тензор энергии-импульса (5.2.4) принадлежит к тензорам этого типа. То же справедливо для тензора энергии-импульса в случае уравнения Дирака — Вейля (4.4.61) (вместо 
мы используем символ 
— некоторая действительная константа). Проверка уравнения (5.9.1) для тензора (5.8.3) в искривленном пространстве-времени облегчается, если использовать тождество
которое потребуется нам в дальнейшем.
Закон сохранения тока заряда (5.1.54) также конформноинвариантен при замене
Это прямо следует из того, что в силу уравнения (5.1.54) равна нулю внешняя производная величины 
[формула (3.4.29)]
так как
Отметим, что
а поэтому закон преобразования (5.9.3) согласуется с равенством 
Естественный закон преобразования величины 
как 2-формы, а именно 
тоже согласуется с уравнениями Максвелла, содержащими источник [формула
Следовательно, при обычном законе масштабного преобразования безмассового поля (5.7.17)
уравнение (5.1.52) также является конформно-инвариантным.
