Структура кривой w (ее кратные точки)
На следующем этапе рассматривается вопрос: можно ли подразделить класс неприводимых 
-кривых на подклассы и если можно, то каковы критерии для различных подклассов.
Рис. 8.6. Некоторые типы особых точек (комплексной) кривой, а — узел; 
точка возврата; в — точка соприкосновения; 
тройная точка.
Очевидно, что для этого можно проанализировать структуру кривой 
связанную с ее кратными точками [356]. Преимущество подобного анализа в том, что он тесно связан с вопросом о приводимости. Так, точка пересечения двух компонент X и у кривой 
всегда является ее кратной точкой. Если компоненты 
и у имеют в точке пересечения разные касательные, то такая точка называется узлом. Однако следует иметь в виду, что узлы, вообще говоря, возможны и у одной неприводимой кривой 
в месте самопересечения, когда разные ее ветви имеют в этой точке неодинаковые касательные (рис. 8, б, а). В более специальных случаях компоненты А, и -у в точке пересечения могут лишь касаться друг друга и соответственно этому неприводимая кривая 
тоже может иметь две ветви с точкой касания. Такая точка называется точкой соприкосновения (см. рис. 8.6, в). Может встретиться и вырожденная форма узла — так называемая точка возврата (или острие). В такой точке касательные двух ветвей совпадают, но в отличие от точки соприкосновения в точке возврата имеется не две, а только одна ветвь кривой (см. рис. 8.6, б). Узлы, точки соприкосновения и точки возврата относятся к двойным точкам кривой 
Такое название обусловлено тем, что любая кривая, проходящая через эту точку, дважды пересекается в ней с кривой 
Возможны также тройные точки и точки более высокой кратности (см. рис. 8.6, г). Тройную точку можно рассматривать как вырожденный случай точки соприкосновения, которую в свою очередь можно считать вырожденным случаем точки возврата, а точка возврата — это, как уже отмечалось, вырожденный случай узла (рис. 8.7).
Точные определения этих понятий для кривых, записанных в обычных (комплексных) декартовых координатах х, у (которые позволяют легко выявить указанные вырождения), устанавливаются следующим образом. Рассмотрим кривую 
уравнение которой имеет вид
Рис. 8.7. Возникновение особых точек в процессе специализации, а — особой точки нет, но конфигурация близка к конфигурации узла; 
узел, почти перешедший в точку возврата; в — точка возврата, почти перешедшая в точку соприкосновения; 
точка соприкосновения, почти перешедшая в тройную точку.
где функция 
предполагается аналитической (голоморфной) функцией координат х и у в начале координат О. Тогда в некоторой окрестности точки О допустимо разложение
Точка О принадлежит кривой 
только в том случае, если 
т. е. при
Если при этом оба коэффициента 
не равны нулю, то уравнение касательной в точке О должно иметь вид
Ее наклон определяется отношением коэффициентов
В частности, кривая 
касается оси х в точке О только при условии
а оси у в точке О при условии
Точка О будет как минимум двойной (т. е. будет узлом), если помимо условия 
будут выполняться условия
В этом случае уравнение пары касательных к двум ветвям кривой в точке О имеет вид
Решения этого уравнения определяются отношениями
Чтобы у кривой 
была точка возврата (или еще более специальная точка) в О, указанные касательные должны совпасть, а это произойдет, если
Точка соприкосновения (или более специальная точка) возникает как вырожденный случай точки возврата, когда двойная касательная в точке О пересекает кривую 
как минимум с кратностью четыре, а не три, как в случае исходной (generic) точки возврата. Таким образом, если в соответствии с формулой (8.7.19) положить
в результате чего уравнение (8.7.18) сведется к виду 
то, поскольку разность 
представляет собой производную в направлении (двойной) касательной, условие [наряду с (8.7.20)] возникновения точки соприкосновения (или более специальной точки) будет таким:
т. е.
Чтобы точка О была как минимум тройной, должно выполняться условие
