Перенос локального твистора

Далее мы определим процедуру, позволяющую сравнивать локальные твисторы в разных точках [т. е. построим связность в расслоении, см. формулы (5.4.17) — (5.4.19)]. При этом мы будем исходить из двух требований. Во-первых, мы хотим сохранить соответствие с теорией глобальных твисторов. Это поможет нам определить процедуру параллельного переноса, которую будем называть переносом локального твистора. Для всякой гладкой кривой соединяющей точки Р и локальному твистору в точке Р сопоставим определенный локальный твистор в точке Это соответствие не зависит от пути только в случае конформно-плоского пространства-времени. Именно в этом случае мы потребуем соответствия с понятием глобального твистора; локальный твистор, который в указанном смысле

переносится «параллельно» во все точки, должен совпадать с глобальным твистором. Во-вторых, мы потребуем инвариантности относительно конформных преобразований. Отметим, что параллельный перенос твистора понимаемый как параллельный перенос его спинорных компонент, не удовлетворяет указанным выше требованиям.

Вначале еще раз проанализируем понятие глобального твистора, введенное в § 1, с точки зрения теории локальных твисторов. Глобальный твистор в конформно-плоском пространстве-времени отождествляется со спинорным полем удовлетворяющим твисторному уравнению

Определим спинор с помощью соотношения

которое в совокупности с уравнением (6.9.8) эквивалентно соотношению (6.1.9). Из (6.8.11) немедленно находим, что

[где — величина, определяемая формулой (6.8.12)]. Таким образом, глобальный твистор представляется парой (сол, полей, удовлетворяющих уравнениям

[В частном случае плоского пространства-времени эти уравнения сводятся к соотношению (6.1.9).]

Воспользуемся системой (6.9.10) для определения понятия параллельного переноса локальных твисторов в произвольном пространстве-времени Будем называть локальный твистор постоянным на (и совпадающим с глобальным твистором), если выполняются уравнения (6.9.10). В произвольном пространстве-времени в общем случае не существует нетривиальных локальных твисторов, удовлетворяющих уравнениям (6.9.10) во всех точках Но, сворачивая (6.9.10) с вектором мы получаем более слабые равенства

которые выражают свойство постоянства твистора в направлении Пусть в задана кривая с касательным вектором Тогда твистор называется постоянным вдоль кривой (т. е. на задан перенос локального твистора), если уравнения

(6.9.11) выполняются в каждой точке кривой . Ясно, что, выбрав (произвольно) начальные значения спиноров пары , с помощью уравнений переноса (6.9.11) мы можем однозначно определить твистор в каждой точке кривой . (При этом предполагается, что кривая не имеет самопересечений и вектор всюду отличен от нуля.)

От определения локального твистора, постоянного вдоль кривой, естественно перейти к понятию вариации твистора вдоль кривой . Вводя для этой величины обозначение мы определяем

Далее, используя формулу (6.8.14), непосредственно убеждаемся, что удовлетворяет закону преобразования (6.9.5), (6.9.6), если ему удовлетворяет твистор Таким образом, величина будет локальным твистором в каждой точке кривой . По существу это можно рассматривать как свойстео конформной инвариантности оператора V в указанном смысле. Поскольку определения (6.9.11) и (6.9.12) относятся к произвольному пространству-времени, как следствие такой инвариантности оператора V мы получаем конформную инвариантность переноса локального твистора. Постоянный локальный твистор, определенный на всем многообразии (т. е. глобальный твистор), должен удовлетворять уравнению в каждой точке многообразия для произвольного вектора

До сих пор мы рассматривали только локальные твисторы типа Обобщение на случай -локальных твисторов осуществляется по стандартному образцу. Наряду с локальными твисторами в фиксированной точке многообразия можно рассматривать поля локальных твисторов на . В первом случае -локальные твисторы образуют четырехмерное векторное пространство над С, а во втором — вполне рефлексивный четырехмерный модуль над комплексными скалярными полями Определение умножения твистора на число и

суммы твисторов очевидно. Система абстрактных индексов и общая схема построения величин произвольной валентности, приведенная в гл. 2, применимы и в этом случае; разложение величин на спинорные части (и соответствующие обозначения) выполняются по той же схеме, что и в случае глобальных твисторов (см. § 1). Так же как для глобальных твисторов, определена операция комплексного сопряжения, которая переводит -твистор в -твистор. Продемонстрируем это в частном случае и проанализируем связь этой операции с понятием переноса локального твистора. Если твистор выбран в соответствии с условиями (6.9.5), имеем по аналогии с (6.1.31), так что, заменяя метрику на получаем новое представление Таким образом, из представления

-локальных твисторов в метрике находим представление в метрике

где

Отсюда находим, что, например, спинорные части -локального твистора преобразуются по закону

и аналогично для твисторов с другим набором индексов.

Из выражения, комплексно-сопряженного выражению (6.9.12), следует, что

Так же как в случае -твисторов, находим, что оператор должен быть конформно-инвариантным в том смысле, что величина удовлетворяет правильному закону преобразования (6.9.13) локального твистора при конформных отображениях, если этому закону удовлетворяет сам твистор Более того, инвариантом конформного преобразования будет скалярное произведение [что явствует из сходства

формул (6.9.6) и (6.9.13) с аналогичными выражениями (6.1.75) и (6.1.76) для глобального твистора], и это произведение удовлетворяет соотношению

в чем легко убедиться, используя формулы (6.9.12) и (6.9.14). Левая часть этого равенства имеет смысл обычной производной по направлению от скаляра [формула (4.3.31)]. Одним из следствий соотношения (6.9.15) является то, что спиральность локального твистора не изменяется при параллельном переносе. И в частности, изотропный твистор остается изотропным. Это свойство имеет аналог в римановой геометрии: норма и скалярное произведение векторов остаются неизменными при параллельном переносе. В теории твисторов роль, аналогичную римановой метрике, играет операция комплексного сопряжения: перенос локального твистора коммутирует с комплексным сопряжением твистора.

Определение оператора V распространяется на локальные твисторы произвольной валентности с учетом обычных требований аддитивности и выполнения правила Лейбница. Проиллюстрируем общую схему частным примером: