Твисторные спин-расслоения над М*

Рассмотренная выше довольно сложная геометрическая структура свойственна не только данному твисторному уравнению, но, как мы скоро увидим [см. теорему Гржина (9.4.15)],

и глобальным решениям уравнений для безмассового свободного поля, которые на первый взгляд вроде бы никак не связаны с твисторами. В силу указанных геометрических тонкостей спинорные поля, фигурирующие во всех этих случаях, строго говоря, не являются спинорными полями в обычном смысле этого слова, а представляют собой сечения некоторых «скрученных» (или «твистовых» от twisted) векторных расслоений (т. 1, гл. 5, § 4), к изучению которых мы сейчас и перейдем.

«Скручивание» («твист» — twist), которое мы собираемся ввести, в какой-то степени аналогично скручиванию ленты в листе Мёбиуса (см. т. 1, рис. 5.3, с. 404) и эквивалентно тому «умножению на на гиперповерхности о котором мы только что говорили. Таким образом, если нам требуется конформная инвариантность полей и в смысле инвариантности относительно группы то эти поля следует считать скрученными в указанном смысле слова.

Есть прямой «твисторный» способ определения конкретных нужных нам векторных расслоений [82], которые мы будем называть твисторными спин-расслоениями над М, а также над ибо они естественным образом могут быть распространены на все пространство Начнем с твисторного расслоения твистовых -спиноров над Напомним (см. гл. 6, § 2; гл. 9, § 3), что точки пространства однозначно соответствуют двумерным комплексным линейным подпространствам твисторного пространства Пусть X — такое линейное подпространство, соответствующее точке . С одной стороны (в пространстве различные твисторы, инцидентные точке X, являются точками подпространства X, а с другой (в пространстве — каждый такой твистор единственным образом определяется выбором спинора в точке X. Другими словами, пара в которой твистор инцидентен точке X, интерпретируется в пространстве как пара

а в пространстве как пара

Спиновое пространство спинора в точке X теперь приобретает смысл самого векторного пространства X.

Тогда можно начать с пространства обладающего заданной структурой комплексного векторного пространства. Затем

мы определим как пространство двумерных векторных подпространств Отсюда автоматически получается расслоение как пространство пар где слои появляются вследствии варьирования при фиксированном X. И наконец, мы интерпретируем эти слои как спиновые пространства спинора в различных точках пространства см.

Однако это не обычные спиновые пространства, а скрученные в указанном выше смысле. Фактически эти пространства дуальны спиновым пространствам А, которым принадлежат обсуждавшиеся ранее (скрученные) спиноры (части твисторов . Чтобы показать это, рассмотрим любой -твистор . В пространстве твистор дает линейное отображение: а в пространстве — скрученное поле Для каждого мы получим конкретное поле а именно что в Т соответствует ограничению линейного отображения пространства до подпространства X. Это ограничение представляет собой линейное отображение т. е. элемент дуального пространства векторного пространства X, который показывает, что пространство X канонически отождествляемо с пространством дуальным (сопряженному) спиновому пространству в точке X. При изменении X над М эти пространства должны быть непрерывно связаны друг с другом подходящим скручиванием, дуальным скручиванию спинора характеризующего пространство Этим и доказывается наше утверждение. (Слои взаимно дуальных расслоений точечно дуальны друг другу. Поля являются сечениями пространства

Теперь рассмотрим твисторное расслоение скрученных -спиноров над Проще всего считать расслоением, комплексно-сопряженным определенному выше расслоению Это эквивалентно представлению точек пространства двумерными линейными подпространствами в дуальном твисторном пространстве , поскольку твисторное комплексное сопряжение меняет на , и наоборот. (Считать пространство дуальным, а не комплексно-сопряженным пространству здесь более логично, ибо такая точка зрения приводит к вполне голоморфной конструкции. В некоторых ситуациях [82], когда приходится иметь дело с комплексным пространством а не с М важно, насколько это возможно, удерживать все операции голоморфными.) Таким образом, представляя точку двумерным подпространством , мы приходим

к расслоению над которое является пространством пар где так что слой над X — это просто пространство X. Каждая такая пара эквивалентна паре и это позволяет сказать, что понималось под «скрученным» спинором Дуальное расслоение можно получить обычным путем, взяв в качестве его слоев слои, дуальные слоям расслоения Аналогично полю и расслоению решения твисторного уравнения (корректным образом скрученного) являются сечениями расслоения индуцированными линейными отображениями вида

В качестве альтернативного подхода расслоение можно определить непосредственно в пространстве (что более логично, если пространство считается первичным). В этом случае представляется исходным двумерным подпространством Рассмотрим для каждого такого X двумерное пространство тех линейных отображений которые дают нуль в каждой точке подпространства X. Эти отображения мы принимаем за слои расслоения что, как легко видеть, эквивалентно определению, данному в предыдущем абзаце. Далее расслоение можно определить как расслоение, дуальное расслоению .

Имея расслоения и над ничего не стоит ограничить их на М. Тогда пространства и можно определить как гладкие сечения этих (соответствующих) расслоений (какую бы степень гладкости мы ни выбрали, скажем чтобы можно было сравнивать с нашими прежними результатами). Если мы имеем дело с пространством то требуются голоморфные сечения, но тогда необходимо локальное рассмотрение, ибо произвольные сечения определены только над некоторым открытым множеством пространства

Пользуясь методами, изложенными в гл. 2, § 2 (см. также т. 1, гл. 5, § 4), можно теперь определить элементы произвольного (скрученного) -спинорного пространства Заметим, что если рассматривать обычные спинорные поля на М, то скачок на гиперповерхности относительно правовинтовой спиновой структуры определяется требованием, чтобы поле в непосредственном прошлом гиперповерхности Э было умножено на величину

для обеспечения непрерывного перехода к значениям этого поля в непосредственном будущем гиперповерхности У. В частности, скачок для элементов пространства должен быть противоположен скачку для элементов дуального ему пространства

(Так, например, скалярное произведение типа должно быть, очевидно, в любой точке пространства М (или обычным нескрученным скаляром, т. е. элементом пространства

Хотя данное выше определение модуля не приводит к спинорным полям в обычном смысле этого понятия (во всех случаях, кроме случая, когда величина кратна 4), мы можем считать «твистовую спиновую структуру», из которой оно получено, более естественной, чем правовинтовая или левовинтовая спиновая структура на М [Разумеется, мы можем с тем же успехом записать «скачок» (9.4.9) и относительно левовинтовой спиновой структуры, просто заменив в выражении (9.4.9) на , или, что эквивалентно, изменив на обратный знак показателя степени.]