Интегралы в линейной теории гравитации

Мы предложили два метода построения интегралов энергии-импульса и момента импульса физической системы в пространстве М. Желательно установить связь между этими методами. Первый метод был таким. Мы рассмотрели (§ 4) случай слабого гравитационного поля в вакууме в области пространства вне источников. Выбрав симметричное решение уравнения (6.1.69), мы построили из него и гравитационного спинора (описывающего приближение слабого поля) интеграл по замкнутой 2-поверхности полностью лежащей в вакуумной части пространства и охватывающей источник [формулы (6.4.3), (6.4.4) и далее]. Значение С этого интеграла не изменяется при непрерывной деформации поверхности если она не пересекает область, в которой сосредоточен источник. Более того, С не зависит от выбора 3-объема, ограниченного поверхностью . В этом смысле С есть сохраняющаяся величина.

Во втором методе [формулы (6.5.9), (6.5.10) и далее] мы рассматриваем интеграл по компактной 3-поверхности (объему) У с границей от тока образованного тензором энергии-импульса и вектором Киллинга Интеграл С имеет смысл полного потока величины через У. Область интегрирования может теперь пересекать область, в которой сосредоточен источник. Величина С сохраняется в том смысле, что этот интеграл не изменяется при непрерывных деформациях V, сохраняющих границу Этому эквивалентно следующее высказывание: -поток через любую замкнутую 3-поверхность (ограничивающую компактный 4-объем) должен быть равен нулю (рис. 6.8). Если граница полностью расположена в вакуумной области, скажем то ее тоже можно деформировать без изменения результата при условии, что все время остается в вакууме; дело в том, что область, заметаемая границей дает нулевой вклад в интеграл.

Рис. 6.8. Закон сохранения заряда: интегральный поток через компактную 3-поверхность с границей равен потоку через 3-новерхность . Объединение 3-поверхностей Т и взятых с противоположными ориентациями, образует границу компактного 4-объема.

По аналогии с электромагнетизмом можно ожидать, что возможен переход от первого описания ко второму, основанный на фундаментальной теореме внешнего исчисления [формула (4.3.25)]. Действительно, именно отыскивая эту связь, мы получаем возможность отождествить результаты обоих методов. Однако здесь возникает дополнительная сложность, поскольку в указанных способах построения сохраняющейся величины С используются разные типы спиноров, а именно и Но соотношение (6.5.25) дает нам связующее звено.

Доказательство оказывается более простым, если использовать тензорные обозначения, а необходимые для этого формулы уже были получены, когда рассматривался переход к тензорной записи соотношений спинорного формализма. Мы используем кососимметричный тензор который определен через спинор в формуле (6.4.7). Нам понадобятся также соотношение (6.4.6) и тензорная форма записи (6.5.40) соотношения (6.5.25): В формулу (4.3.25) фундаментальной теоремы внешнего исчисления

мы подставляем вместо 2-формы выражение

где — тензор кривизны (5.7.4) в приближении слабого поля, а — дуальный ему тензор [формула (4.6.11.)]. Тогда

где в силу линеаризованных тождеств Бианки (5.7.9) дуальному преобразованию подвергаются лишь два последних индекса

тензора Выполняя дуальное преобразование индексов формы в (6.5.46), получаем

[формулы (3.4.30) и (3.4.25)]. Но в силу формул (6.4.6), (6.5.40) и (4.6.11) имеем

— тензор энергии-импульса в приближении слабого поля [он связан с так же, как тензор связан с см. формулу (5.7.6), причем — гравитационная постоянная]. Далее, тензор удовлетворяет циклическому тождеству [формула откуда

и, как следствие формулы (6.5.48),

Подставив это в (6.5.47), получим

В то же время, если перейти в выражении (6.5.45) к спинорам, используя формулы (5.7.8) и (4.6.11), то мы получим в вакуумной области

Следовательно, левая часть равенства (6.5.44) пропорциональна сумме выражения вида (6.4.4) [в котором спинор заменен спинором определяемым соотношением (6.4.3)] и комплексно-сопряженного выражения. Другими словами, мы получили интеграл, вычисляемый при первом методе построения сохраняющихся величин. Подставив в правую часть равенства (6.5.44) величину, дуально сопряженную величине (6.5.49), используя формулу (3.4.29) и первое равенство (3.4.31), мы видим, что указанная правая часть пропорциональна интегралу потока величины вида (6.5.10), т. е. соответствует второму методу построения сохраняющихся величин. Выбирая общий множитель так, чтобы в случае вектора Шиллинга отвечающего

временным трансляциям получалась полная энергия, заключенная в объеме переписываем (6.5.44) в виде

Это соотношение дает искомую связь между сохраняющимися величинами, построенными двумя методами, причем не обязательно лежит в вакуумной области. Отметим, что в спинорной записи в левую часть равенства (6.5.51) в явном виде входят источники линеаризованной кривизны (отвечающие спинорам и в отличие от аналогичной ситуации для электромагнитного поля. Если эти источники обращаются в нуль на границе (поверхность расположена в вакуумной области), то на основании формулы (6.5.50) левую часть можно записать в виде

где определяется формулой (6.5.4).