Конформные плотности на М*; индекс Гржина

Скачок (9.4.9) согласуется с рассмотренным ранее в этом параграфе поведением параллельно переносимого спинора ул при условии, что мы берем последний в конформно-инвариантной форме с нижним индексом. Если же мы возьмем спинор (или, скажем, спинор ом), который является конформной плотностью и не является конформно-инвариантным, то в случае произвольного конформного веса в формулу следует включить дополнительный множитель причем показатель здесь должен быть целым числом. Правда, при интерпретации этого нужна осторожность. Если определить конформную метрике несингулярную метрику в некоторой окрестности точки гиперповерхности Э обычным способом с помощью соотношения

где — конформный множитель, скажем, из § 1, то окажется, что последний либо на одной, либо на другой стороне гиперповерхности отрицателен. Поэтому приходится отказаться от обычного (см. гл. 5, § 6) требования, чтобы конформный множитель был всюду положительным. Величины с нечетным конформным весом в областях, где выбирается знак минус перед квадратным корнем из в формуле (9.4.10), в дополнение к изменению масштаба претерпевают еще и изменение знака. Если действовать так, как в начале § 2, где для построения пространства М к пространству сначала добавлялись, а затем отождествлялись граничные гиперповерхности и то мы не обнаружим появления отрицательных множителей Но если продолжать гладко через в будущее или через в

прошлое, то мы попадем в области отрицательных Это не очень желательно и особенно потому, что для представления спин-вектора изотропным флагом используется бивектор

[формула (3.2.9)], причем все спиноры входящие в него, обладают нечетным конформным весом. Следовательно, там, где видимо, нужно потребовать обратного по сравнению с данным в гл. 3, § 2 (и т. 1, гл. 1) соотношения между спин-вектором и его полотнищем флага (т. е. касательный к сфере вектор, представляющий это полотнище флага, должен быть направлен в противоположную сторону). Но это не устраняет встреченную нами выше проблему неопределенности выбора между право- и левовинтовой спиновыми структурами (поскольку спиновая структура — это всегда исключительно топологическое и абсолютно неметрическое понятие [206]), ибо в случае отрицательных нужно дважды «обойти» пространство М, прежде чем мы вернемся к исходным значениям. В связи с этим в формулируемом ниже определении принята процедура «склейки» (при которой всюду в использованная в начале § 2.

Определение

Поле -спинора в пространстве (VI, являющегося конформной плотностью с (целым) весом называется гржиновским полем на бесконечности, если при изменении масштаба и использовании правовинтовой спиновой структуры оно непрерывно продолжается через гиперповерхность будучи в непосредственном прошлом граничной гиперповерхности Э умножено

Целое число называется (по предложению Вудхауса) индексом Гржина данного поля. Отметим, что индекс Гржина главной спинорной части -твистора равен а -твистора — Поэтому, выполнив тензорное умножение, мы сможем сформулировать следующее предложение.

Предложение

Индекс Гржина главной спинорной части -твистора равен

Кроме того, справедливо следующее положение весьма общего характера:

Если индексы Гржина полей равны то индекс Гржина поля равен

При желаний отмеченные ранее трудности интерпретации в случае ненулевого конформного веса можно обойти, заменив поле

чтобы в результате получилось поле с нулевым конформным весом. Индекс Гржина при этом остается прежним, так как для спиноров он равен нулю.