Подход Виттена в доказательстве положительности массы

Теперь мы перейдем к вопросу, физическая значимость которого бесспорна: это проблема положительности полной массы в общей теории относительности. Первый достаточно полный анализ этой проблемы был проведен в 1979 г. в работах [302, 303]. Но приведенное там доказательство положительности массы относится к массе, определенной на пространственной бесконечности ( см. § 1), а не непосредственно к массе Бонди—Сакса (см., однако, работу [304]). Положительность массы на изотропной бесконечности является более содержательным результатом, нежели ее положительность на пространственной бесконечности. Если принять ту точку зрения [9], что масса на пространственной бесконечности является пределом прошлого массы Бонди — Сакса, взятым так, что срез уходит в прошлое вдоль (т. е. стремится к — хотя это никоим образом не очевидно в случае стандартного выражения для массы, предложенного Арновиттом, Дезером и Мизнером (АДМ) [4] — то в силу формулы (9.10.13) для потерь массы положительность массы на пространственной бесконечности оказывается следствием ее положительности на изотропной бесконечности. Кроме того, положительность массы на изотропной бесконечности имеет более важное физическое значение, ибо гарантирует, что система не может за счет излучения отдать энергию, превышающую ее начальную массу, поскольку тогда ее (ставшая отрицательной) энергия не будет иметь определенной меры на пространственной бесконечности, ибо такая система, по-видимому, будет вечно испускать излучение. (Теорема о положительности массы была бы наиболее удовлетворительной, если бы она была доказана на квазилокальном уровне, но такое доказательство пока что отсутствует).

Ключевой новый элемент, первоначально введенный Виттеном [374] в поисках альтернативного доказательства положительности массы на пространственной бесконечности, состоит в способе продолжения от бесконечности вовнутрь вдоль пространственноподобной гиперповерхности вектора который на бесконечности стремится к постоянному «вектору Киллинга»,

определяющему соответствующую компоненту 4-импульса. При этом в качестве берется изотропный вектор, имеющий на вид

причем соответствующим образом стремится на бесконечности к постоянному значению. Спинор подчиняется эллиптическому дифференциальному уравнению на (мы будем здесь называть его СВ-уравнением), которым определяются его значения на при условии указанного выше асимптотического поведения. Замечательное тождество, полученное Виттеном [374], а также — но в другом контексте — Сеном [308], показывает, что величина, построенная из (которая на бесконечности фактически становится изотропной компонентой асимптотического 4-импульса), равна неотрицательному интегралу на если 1) локальный тензор энергии удовлетворяет приводимому ниже условию энергодоминантности (9.10.42) удовлетворяет СВ-уравнению всюду на

Пионерная работа Виттена [374] корректировалась рядом авторов [213, 229], придавших ей большую строгость и модифицировавших исходные рассуждения таким образом, что они стали применимы на изотропной бесконечности при доказательстве положительности массы Бонди — Сакса. Это доказательство вряд ли уже приведено к своей окончательной форме, но мы укажем три, по-видимому самых успешных, подхода, предложенных Людвигсеном и Виккерсом [194], Горовицем и Перри [140] и Реулой и Тодом [290], причем основное внимание мы уделим первому из них.

Общим моментом всех этих подходсв являются тождество Сена — Виттена и восходящий к Виттену способ его применения. Рассмотрим 2-форму

где спинор считается в определенном смысле асимптотически постоянным. Требуется, чтобы эта форма обладала двумя свойствами. Первое состоит в том, что интеграл от нее по замкнутой

2-поверхности стремится к пределу

когда уходит на бесконечность, стремясь к срезу гиперповерхности или к другой пространственноподобной бесконечности, и где — подходящая асимптотическая мера 4-импульса.

Второе свойство таково: если компактная пространственноподобная [или локально ахрональная 3-поверхность с границей и если спинор удовлетворяет соответствующему эллиптическому уравнению на и всюду на выполняется условие энергодоминантности, то

где равенство имеет место, лишь если спинор постоянен на

Обычно в качестве уравнения, которому должен удовлетворять спинор на , берется СВ-уравнение

(хотя в выборе уравнения (9.10.21) есть некоторый произвол; см. где

— ортогональный проектор, касательный к , так что

— единичный вектор нормали к гиперповерхности . Этот проектор удовлетворяет очевидным условиям

Как результат записи СВ-уравнения (9.10.21) в виде

иногда бывает полезным следующее спинорное выражение для

(В вычислениях со спинорами на пространственноподобных

3-поверхностях может оказаться более удобной нормировка вектора а не его нормировка как единичного вектора нормали. В этом случае операторы и служат для замены штрихованных индексов нештрихованными и наоборот, так что можно пользоваться только одним типом индексов (см. приложение). Отметим, что хотя или это не совсем оператор Дирака, внутренний по отношению к 3-поверхности, но тесно связан с ним [308].)