Последовательности моментов

Исследуем теперь точную последовательность, которая связана с соотношениями (6.5.15), (6.5.19) и (6.5.20). Мы рассмотрим следующую частичную последовательность:

где — векторное пространство (над R) эрмитовых -твисторов, а — пространства симметричных и антисимметричных -твисторов, рассматриваемых в этом случае как векторные пространства над Отображение определено так,

Что его ядро совпадает с ядром отображения (6.5.19):

Здесь — произвольный (не обязательно бесследовый) элемент пространства Решения уравнения (6.5.19) имеют вид (6.5.15), что дает отображение

Калибровочный же произвол в выборе [формула (6.5.20)] дает отображение

Последовательность (6.5.32) с такими отображениями может рассматриваться как звено отображения точной последовательности, поскольку образ отображения есть ядро отображения , а образ отображения есть ядро отображения

Последовательность (6.5.32) можно продолжить бесконечно в обоих направлениях до точной последовательности, которая оказывается периодической:

причем еще одно дополнительное отображение определено так:

(где — кососимметричный твистор). В том, что эта полная последовательность является точной, можно убедиться непосредственно (подстановкой спинорных частей, взятых в точке О).

Последовательность, дуальная последовательности (6.5.36), имеет вид

где отображение р [или соответственно], дуальное отображению (или ), связано с отображением следующим образом: умножаем исходный элемент на затем действуем отображением после чего выполняем комплексное сопряжение. Полученная последовательность (6.5.38), дуальная последовательности (6.5.36), точна и оказывается тривиальной модификацией последовательности (6.5.36), прочитанной справа налево (с включением множителя и комплексного сопряжения). Заметим, что скалярные произведения пространств, входящих в последовательность (6.5.36), на дуальные им пространства определяются как действительные

части сверток между парами элементов этих пространств. (Разумеется, в том случае, когда пространствами оказываются и На, свертка заведомо будет действительной.) Этим определением скалярного произведения и задаются отображения

Отметим, что соотношение (6.5.14) между твистором и твистором момента имеет в точности вид отображения переводящего элемент а преобразование (6.3.14) дается отображением То, что (действительное) скалярное произведение на равно свертке [формула (6.5.16)], есть также следствие общего факта существования пары дуальных (над пространством последовательностей (6.5.36) и (6.5.38) (в нашей записи соответствующие пространства расположены в средней части последовательностей). Вернемся к кажущемуся парадоксу, отмеченному на с. 97, 110: выражение для твистора момента (6.5.14) и идентичное выражение (6.5.22), связанное с построением твистора вектора Киллинга, играют в теории, казалось бы, противоположную роль: первое из них задает проекцию конформных сохраняющихся величин на сохраняющиеся величины, связанные с группой Пуанкаре, а второе отражает наличие калибровочного произвола в твисторном описании вектора Киллинга. Теперь это различие можно трактовать с более общей точки зрения. Соотношение (6.5.14) совпадает с отображением в последовательности (6.5.38), тогда как калибровочные слагаемые составляют образ при отображении в последовательности (6.5.36), т. е. это ядро отображения дуального отображению Можно сказать, что структура последовательности (6.5.38) отражает процедуру построения наборов сохраняющихся величин для конкретных физических объектов (таких, как бильярдный шар, о котором шла речь, на с. 108 и твистор момента которого принадлежит пространству структура же последовательности (6.5.36) подчеркивает роль (конформных) векторов Киллинга и т. п. в вычислении отдельных сохраняющихся величин (например, вектора Киллинга, отвечающего энергии системы).

До сих пор мы рассматривали последовательности (6.5.36) и (6.5.38) алгебраически (т. е. лишь как примеры алгебры твисторов). Но мы видели в формуле (6.5.25), что линейные отображения между твисторами можно рассматривать на уровне дифференциальных уравнений для спинорных полей на Тогда перемещение вдоль последовательности в направлении к ее началу соответствует вычислению потенциалов [типа потенциала для вектора в формуле (6.5.25)]. На рис. 6.6 представлена полная схема преобразований для последовательности (6.5.36). Уравнения написаны с использованием главных частей

(кликните для просмотра скана)

твисторов соответственно (это те случаи, когда твистор полностью определяется главной частью), а также с использованием пар описывающих твисторы соответственно. Здесь главные части, а через обозначены (независимые) следы, которые должны быть заданы для полного определения твисторов.

Большинство соотношений на рис. 6.6 записано в тензорной форме. Остальные (спинорные) соотношения, расположенные в центре схемы, можно преобразовать к тензорному виду, если ввести по аналогии с (6.4.7) величину

Тензорная форма уравнения дана в формуле (6.4.6). Тензорная форма отображения имеет вид

(включая случай а для отображения находим

так что образ отображения (т. е. ядро отображения составлен из тензоров удовлетворяющих уравнению (6.4.6), а также уравнению

Как мы уже видели, дуальная последовательность (читаемая справа налево) представляет собой тривиальную модификацию исходной последовательности. В частности, отображение которое переводит конформную величину в твистор момента по существу имеет вид (6.5.41), где, однако, вместо стоит дуальный тензор. Это — следствие наличия дополнительного множителя в определении отображения [см. текст после формулы (6.5.38)]. Главная часть твистора равна [формула (6.3.11)] так что, заменив в определении (6.5.39) тензора этой величиной, мы получим удвоенный тензор момента (6.3.10), а именно Конформный вектор Киллинга который мы рассматриваем как главную спинорную часть твистора можно связать равенством (6.5.41) с тензором, дуальным тензору Следовательно, тензор может быть представлен как ротор конформного вектора Киллинга что уже отмечалось в формуле (6.3.16). Наконец, уравнение, аналогичное дуальной форме уравнения (6.5.42), означает просто, что ротор тензора равен нулю.

Для последовательности (6.5.36) и дуальной ей последовательности (6.5.38), которые в дальнейшем мы будем называть периодическими последовательностями момента [точнее говоря, (6.5.38) есть последовательность момента, а -дуальная ей последовательность], существует полезное представление в виде перекрывающихся систем более коротких последовательностей, содержащих по девять членов. Последовательность такого вида, которую мы кратко будем называть последовательностью момента, показана на рис. 6.7. Здесь пространство эрмитовых твисторов расщеплено в прямую сумму

где — пространство бесследовых эрмитовых твисторов, учитывает вклад следа. Пространство представимо в виде

где — шестимерное действительное пространство твисторно-действительных кососимметричных твисторшз, т. е. твисторов удовлетворяющих условию где [формулы (6.2.19) и (6.2.31)], так что их главная часть содержит действительный множитель

Как было показано в работе [146], последовательность момента можно рассматривать как пример точной последовательности Кошуля [117]:

Здесь есть -мерное векторное пространство над кольцом V с делением, а отображения определены на фиксированных элементах пространства Верхние отображения имеют вид

а нижние таковы:

Точность легко проверяется, как и то, что последовательности взаимно дуальны, причем соответствующие дуальные пары пространств отмечены вертикальными штриховыми линиями со стрелками на обоих концах. Чтобы получить последовательность момента, следует положить где Ф —

(кликните для просмотра скана)

абстрактный индекс, изображающий антисимметризованную пару индексов Фиксированный элемент заменяется элементом и с точностью до тривиальных множителей последовательность (6.5.43) сводится к последовательности, изображенной на рис. 6.7. Детали этого перехода мы оставляем читателю.

В работе [146] было отмечено, что такая процедура может рассматриваться и в космологии (гл. 9, § 5), где возможны альтернативные варианты «бесконечно удаленного твистора», который не обязательно будет простым (или действительным). Это приводит к некоторой модификации наших твисторных выражений.