§ 15 (гл. 4). Функции на метрической сфере

При изучении сферических гармоник (со спиновым весом) удобно выбрать в качестве метрическую сферу радиусом в М, которая является пересечением изотропного конуса будущего точки с изотропным конусом прошлого точки Положение переменной точки на определяется вектором исходящим из точки и вектором исходящим из точки

Тогда будет -скаляром, а -скаляром, и спиновая система отсчета изменяется с перемещением так, как говорилось выше. Нас будут интересовать -скаляры, определенные на и в частности их свойства, инвариантные относительно собственных вращений сферы (ограниченных движений при действии группы Пуанкаре на М, оставляющих неподвижными как так и а также свойства, инвариантные относительно конформных движений сферы Последние индуцируются ограниченными пуанкаре-движениями пространства М, оставляющими неподвижной точку причем теперь отождествляется с пространством образующих конуса можно дать другое определение этих движений, считая, что фиксированной остается точка а отождествляется с пространством образующих конуса Как и ранее, мы называем величину спиновым весом, а бустовый вес теперь интерпретируется либо как точка остается фиксированной), либо как фиксирована точка где до будет конформным весом.

Имеем

где имеет спиновый вес и

при Кроме того, если определяется соотношением

где — величина типа то соотношение между и инвариантно относительно ограниченных преобразований Лоренца, оставляющих неподвижной точку то же справедливо для соотношения между

если Конформно-инвариантная операция в формуле (4.15.32) по существу эквивалентна действию оператора на скаляр со спиновым весом и конформным весом до тогда как для соотношения (4.15.30) следует взять оператор при

Мы определяем сферическую гармонику со спиновым весом как -функцию на , которая будет собственной функцией оператора

где — спиновый вес собственной функции целое или полуцелое число («полный спин»), удовлетворяющее неравенству

Спиновые сферические гармоники можно определить иначе — как компоненты в базисе постоянного спинора

для которого

где — времениподобный вектор в направлении Здесь символом обозначена подсистема (векторное пространство над образованная постоянными спинорными полями, а также приняты обозначения со скобками, введенные в формуле (3.3.14).

Полезна следующая таблица:

Числа в треугольном массиве (неограниченно простирающемся вниз) - комплексные размерности различных пространств этих гармоник; оператор переводит нас на одну -единицу вправо и дает нуль в том и только в том случае, если он выводит за рамки массива; действие оператора аналогично, но в противоположном направлении. В частности, имеем следующее предложение.

Предложение

Если функция определенная на У, имеет отрицательный [положительный] спиновый вес, то из равенства [или следует равенство

Отметим, что если (верхушка треугольника), то гармоника будет константой. Следовательно, если характеризуется значением и удовлетворяет одному из уравнений то есть константа на сфере Р.

Таблица (4.15.60) оказывается также полезной при рассмотрении конформных преобразований сферы 9. Фиксируя точку с координатами находим для заданного конформного веса что пространства, которые изображаются множеством точек -столбца, расположенных сверху до выбранной точки включительно, вместе образуют -мерное пространство, которое преобразуется в себя при конформных движениях сферы Ф. [Оно совпадает с пространством компонент спиноров (4.15.42) при Если же мы положим конформный вес равным (дуальная ситуация), то можно показать, что свойство величины со спиновым весом иметь нулевую проекцию на указанное подпространство конформно-инвариантно.

Выбирая на стандартную стереографическую координату , определенную формулой (1.2.10), находим, что она антиголоморфна, и поэтому можно положить

Затем, полагая находим, что

и для величины типа справедливы равенства

Отметим, что при спиновые сферические гармоники (в -координатах) будут линейными комбинациями величин

(кратными соответственно) или величин

(кратными Если то они будут линейными комбинациями величин

(кратными ).