ГГИН в пространстве-времени высокой симметрии
В нижеследующем во многих случаях будет существен результат действия на спинор Вейля и на 
обычных конечных преобразований Лоренца. В частности, всякий тип спинора Вейля имеет по отношению к группе Лоренца свою собственную характеристическую симметрию. Даже анализ очень простой симметрии может дать весьма полезную информацию о типе спинора Вейля. Например, в известных космологических моделях Фридмана — Робертсона — Уокера (гл. 9, § 5) в каждой точке существует времениподобный вектор (ассоциированный с галактикой, «покоящейся во вселенной»), по отношению к которому пространство-время сферически-симметрично. Тензор Вейля тоже должен обладать такой симметрией. Но ни одна конфигурация из 1, 2, 3 или 4 точек на 
не может быть сферически-симметричной, откуда следует, что тензор Вейля в каждой точке должен иметь тип 
Тогда из теоремы (6.9.23) незамедлительно следует:
Предложение
Всякая космологическая модель Фридмана — Робертсона — Уокера является конформно-плоской.
В качестве второго примера рассмотрим метрику Шварцшильда. Соответствующее пространство-время в каждой точке
аксиально-симметрично по отношению к пространственному направлению, ассоциированному с источником, и, кроме того, симметрично во времени. Поскольку вся система ГГИН должна обладать такой же симметрией, каждое из ГГИН должно идти к источнику или от него, так что спинор Вейля должен относиться к типу 
или {22}. (Рассматриваемая метрика является вакуумной, а потому кривизна всюду отлична от нуля и тип 
исключается.) При преобразованиях отражения во времени выходящее изотропное направление будущего становится входящим изотропным направлением будущего и наоборот (при этом направления 
рассматриваются как одно и то же изотропное направление).
Таким образом, симметрия во времени исключает типы 
(После рис. 8.3 мы увидим, что для этого достаточно аксиальной симметрии.) Отсюда следует, что спинор Вейля относится к типу 
(см. также с. 134). Аналогичные рассуждения возможны, например, в случае плосковолнового пространства-времени. В этом случае спинор Вейля относится к типу 
