Нулевая кривизна Вейля как свойство конформно-плоского пространства

Локальная твисторная кривизна (6.9.18) содержит кривизну Вейля и ее (свернутые) производные. Если пространство конформно-плоское, то эти величины должны быть равны нулю.

Действительно, в плоском пространстве-времени мы имеем , будучи конформным инвариантом [формула (6.8.4)], спинор должен также быть равен нулю в конформно-плоском пространстве-времени. Следовательно, (это, во всяком случае, явствует из конформной инвариантности процедуры переноса локального твистора), локальная твисторная кривизна тоже должна быть равна нулю во всяком конформноплоском пространстве-времени. Здесь мы хотим доказать обратное утверждение.

Теорема

Если во всем пространстве-времени выполняется равенство Члвсо то каждая точка многообразия имеет окрестность в которой можно выбрать конформный множитель, переводящий метрику окрестности в метрику некой области пространства Минковского. Будем называть такое пространство-время «кусочноконформным» пространству Минковского. (6.9.23)

Доказательство. Допустим, что равенство выполняется во всем пространстве Такая локальная твисторная кривизна равна нулю в каждой точке пространства Пусть О — точка в пространстве Ж; выберем окрестность У точки О так, чтобы она была односвязной и допускала спинорную структуру (гл. 1, § 5). Тогда любые две кривые в окрестности У, соединяющие точку О с некоторой фиксированной точкой Р, могут быть непрерывно деформированы друг в друга. Пусть — локальный твистор в точке О. Для всякой гладкой кривой (в окрестности У), соединяющей точки О и Р, можно определить соответствующий локальный твистор в точке Р с помощью параллельного переноса локального твистора из О в Р вдоль Пусть теперь эта кривая деформируется непрерывно на У так, что ее концевые точки О и Р остаются неподвижными. Вспоминая определение твисторной кривизны, основанное на параллельном переносе локального твистора по замкнутому контуру, из того, что кривизна равна нулю, заключаем, что результат переноса локального твистора из О в Р вдоль не изменяется, если х деформируется непрерывно (рис. 6.10). (Можно предложить и более строгое доказательство, но основная идея уже ясна.) Ввиду односвязности области У результат параллельного переноса из О в Р не зависит от выбора пути на У. Изменяя положение точки Р на У, мы получаем поле локальных твисторов на У, которое удовлетворяет системе (6.9.11) в каждой точке для всех векторов Таким образом, справедлива также

Рис. 6.10. Равенство нулю локальной твисторной кривизны означает, что результат переноса локального твистора вдоль кривой из точки О в точку Р не изменяется при непрерывной деформации кривой система уравнений (6.9.10), и мы получаем глобальный твистор

Результат не изменится, какой бы локальный твистор в точке О мы ни взяли. Таким образом, пространство локальных твисторов в точке О находится во взаимно-однозначном соответствии с пространством глобальных твисторов на Т. Всякой парой спиноров в точке О определяется глобальный твистор на У, и наоборот. Если компонента сол глобального твистора равна нулю в точке Р, принадлежащей области то мы говорим, что твистор инцидентен точке Р. Поскольку соответствующий локальный твистор в точке Р будет изотропным и это свойство сохраняется при параллельном переносе локального твистора, твийтор будет также изотропным и в точке О. Если — другой глобальный твистор, инцидентный точке Р, то, очевидно, выполняется равенство в точке Р. Вновь вспоминая, что условие ортогональности инвариантно при параллельном переносе локальных твисторов [формула (6.9.15)], мы заключаем, что в точке О. Таким образом, совокупность всех глобальных твисторов, инцидентных точке Р, может быть представлена в точке О как комплексно-двумерное пространство локальных твисторов в точке О, которые изотропны и взаимно ортогональны.

Касательное пространство в точке О можно отождествить с пространством Минковского М, а пары спиноров в точке О рассматривать как обычные твисторы пространства М. Описанное выше комплексно-двумерное пространство локальных твисторов в точке О, изображающее точку Р многообразия Т, есть в точности пространство, образуемое всеми твисторами в М, инцидентными некоторой точке причем точка может оказаться бесконечно удаленной в М. Такой исключительный случай можно не рассматривать, если выбрать окрестность точки О достаточно малой, так чтобы

каждой точке Р в отвечала конечная точка Более того, мы выбираем окрестность настолько малой, чтобы различные точки в имели разные образы в М. В этом случае мы получаем взаимно-однозначное и непрерывное отображение окрестности на конечную область пространства М. Кроме того, данное отображение будет конформным. Чтобы показать это, рассмотрим глобальный твистор инцидентный точке Р, со спинорными компонентами в точке Р, имеющими вид Выберем в качестве х изотропную геодезическую, проходящую через точку Р в направлении флагштока спинора принимаем Из соотношения (6.9.11), очевидно, следует, что представление справедливо всюду на т. Таким образом, твистор инцидентен каждой точке геодезической . Отсюда следует, что при рассматриваемом отображении из в М изотропные геодезические в переходят в изотропные прямые (точки фиксированных изотропных твисторов) в М. В силу этого световые конусы окрестности 41 отображаются в световые конусы пространства М, чем доказывается конформность рассматриваемого отображения. Но тем самым и завершается доказательство теоремы (6.9.23), так как в качестве точки О можно взять произвольную точку многообразия