Свойства решения Керра

В случае решения Керра (а следовательно, и решения Шварцшильда, но только в этих случаях) вектор Киллинга сконструированный так, как в предложении (6.7.17), с заменой

спинора спинором является действительным (и генерирует стандартные времениподобные трансляции, отвечающие симметрии рассматриваемых решений). Свойство действительности означает, что бивектор

удовлетворяет условиям

в чем легко убедиться прямой проверкой. [Выражения, полученные симметризацией по индексам А, В, С или А, В, С левой части первого равенства (6.7.19), равны нулю в силу уравнения (6.7.16). Другая часть, кососимметричная по индексам А, В и А, В, равна нулю вследствие действительности Отметим, что равенство (6.7.19) формально тождественно условию (6.3.4), при котором бивектор в М имеет ту же зависимость от координат, что и бивектор, дуальный тензору момента. Поэтому можно было бы сделать вывод, что бивектор должен описывать в некотором смысле структуру углового момента решения Керра. Но на самом деле ситуация не столь проста. В приближении слабого поля отношение спина к угловому моменту, вычисленному по имеет неправильный знак [94]. Оказывается, что твистор, главная часть которого есть пропорционален обратной величине твистора углового момента Подробнее мы рассмотрим этот вопрос в гл. 7, § 4, с. 246.

Кососимметричный объект удовлетворяющий уравнению (6.7.19), иногда называют тензором Киллинга, поскольку (6.7.19) можно рассматривать как обобщение уравнения Киллинга, отличное от (6.7.6). В современной литературе для величины удовлетворяющей уравнению (6.7.19), принят термин тензор Киллинга — который мы будем использовать в дальнейшем. Это понятие обобщается на кососимметричный тензор измерениях) с произвольным числом индексов, и аналогично мы имеем величину сохраняющуюся вдоль геодезической с касательным вектором (Тензоры Киллинга — в пространстве-времени изучались, например, в работах [66, 67], а спиноры Киллинга — в работах [354, 147, 154]; см. также [315, 148].)

В работе [94] было отмечено (см. также [248]), что произведение

удовлетворяет условиям

и, следовательно, представляет собой тензор Киллинга вида (6.7.6). Сохраняющуюся величину называют постоянной Картера решения Керра. Это решение допускает еще два независимых вектора Киллинга, так что вместе с метрикой перечисленные величины образуют набор из четырех сохраняющихся величин, позволяющих определить геодезические явно с точностью до квадратур [46, 47, 53].

Физический смысл постоянной Картера не вполне ясен, однако этой величине можно пытаться приписать смысл «полного момента» пробной частицы, движущейся по орбите вокруг черной дыры. («Полный» означает, что эта величина пропорциональна квадрату 3-вектора момента импульса.) Действительно, такая интерпретация справедлива в частном случае решения Шварцшильда, поскольку имеет место тождество

связывающее с векторами Киллинга которые генерируют вращения в направлении стандартных осей. Сохраняющиеся величины — это компоненты углового момента пробной частицы вдоль названных осей. Константа имеет смысл массы источника — гравитационная постоянная). Отметим, кстати, что для решения Шварцшильда со стандартной координатой справедливо равенство

Решение Керра замечательно и в том отношении, что все переменные в стандартных полевых уравнениях на фоне метрики Керра разделяются [46, 53]. Это связано с существованием тензора Киллинга — Яно Каь [49].