Модели ФРУ, соответствующие твисторы начальной и конечной сингулярностей

Вернемся к моделям ФРУ и найдем для них явные выражения функций и . Для этого можно, например, преобразовать метрику пространства к форме метрики Минковского. Метрику Минковского (9.5.4) мы теперь запишем в виде и заметим, что в соответствии с равенствами должны выполняться соотношения

вместе с условиями

[ср. с формулами (9.5.10), (9.5.12)]. С учетом формул (9.5.3) и (9.5.4) получаем

тогда как на основании формул (9.5.5) и (9.5.6) можно получить

Поскольку в подходящем интервале изменения переменных при величины и V имеют одинаковый знак, и — разные знаки, тогда как при мы имеем на основании формулы (9.5.6) мы получим

Отметим, что на в сингулярностях.

В этих выражениях — просто комбинации некоторых компонент твистора [формула (9.3.8)]:

Сами по себе эти компоненты особого значения не имеют. Они представляют скалярные произведения твистора на некоторые кососимметричные твисторы соответствующие тем или иным элементам пучка гиперплоскостей в пространстве [определенного в формуле пересечение которого с дает срез пространства-времени в момент космического времени Геометрия двух подходящих гиперплоскостей в ее связи с пространством при при при вместе с явными выражениями (9.5.35) дает нам всю необходимую информацию о метрике на

Однако при конкретном отборе этих гиперплоскостей из пучка имеется некоторый произвол, обусловленный тем, что в

исходные интегралы (9.5.2) входит произвольная постоянная. Если модель содержит «большой взрыв», то можно добиться, чтобы нулевые значения координат или соответствовали большому взрыву, т. е., согласно формуле (9.5.6), чтобы ему соответствовало значение

Мы можем определить твистор начальной сингулярности (взрыва) такой, что

а также

При сделанном выше выборе координат имеем

так что

Аналогично, в закрытой модели можно определить твистор конечной сингулярности для которого в сингулярности и который удовлетворяет условиям, соответствующим (9.5.37). В закрытой пылевой модели Фридмана с имеет место равенство (которое следует из упоминавшегося ранее свойства световых конусов с вершиной в большом взрыве вновь фокусироваться в конечной сингулярности). То же самое справедливо и для закрытой радиационной модели Толмэна, но во фридмановской модели происходит дальнейшее вырождение: твистор, представляющий космическое время максимального расширения, тоже оказывается равным

Если попытаться описать структуру пространства отобрав характерные для него твисторы [такие, как в случае пространства М или (анти)деситтеровской модели], то в их отборе обнаружится некоторый произвол. Определенные преимущества дает выбор, скажем, твистора и соответствующего твистора, представляющего какой-нибудь другой элемент пучка, т. е. твистора, описывающего бесконечность в тех случаях, когда пространство допускает гиперплоскость Какие два твистора мы на самом деле отберем, особого значения не имеет,

поскольку все другие возможные наборы будут линейными комбинациями этих. Для единообразия и простоты математического описания удобйо (во всех случаях, кроме случая выбрать два элемента пучка, касающиеся пространства так что соответствующие твисторы простые. В случае это приводит к выбору пары комплексно-сопряженных простых кососимметричных твисторов в случае пары разных действительных (в твисторном смысле) простых кососимметричных твисторов а в случае следует отобрать один действительный простой кососимметричный твистор и (скажем) действительный не являющийся простым кососимметричный твистор Нормируем их следующим образом:

(Преимущество такой нормировки в случаях состоит в том, что пара твисторов или пара оказываются ортогональными идемпотентными проекционными операторами, разбивающими твисторное пространство на два канонически определенных спиновых пространства. При это спиновые пространства, которые рассматриваются в обоих томах книг, тогда как при них обнаруживается иная связь с операцией комплексного сопряжения.) В случаях в качестве твистора начальной сингулярности (если есть большой взрыв) можно взять выражения

что придает твистору точно такую же структуру, как и в формуле (9.5.40) при (хотя связь этого твистора с будет иной).

В стандартных расширяющихся моделях (с положительной плотностью) при для представления гиперповерхности можно использовать твистор

Однако при гиперповерхность пространственноподобна и не имеет столь очевидной связи с (В частности, такой выбор не согласуется со сделанным ранее в случае пространства де Ситтера!) При твисторы представляют «виртуальные» (комплексные) бесконечности, которые могут быть достигнуты только в результате комплексификации

метрики. В расширяющихся моделях с твистор тоже представляет «виртуальную» бесконечность, но при этом соответствующая гиперповерхность связана с гипотетической фазой коллапса, предшествующей большому взрыву. (См. рис. 9.15 и 9.16: твистор представляет границу а твистор -границу . Укажем также, что точка это вершина а точка вершина

Явная реализация этих твисторов посредством наших координат при

дается выражениями

а при она дается выражением (9.5.38) для в случае пространства Минковского стандартное выражение для твистора определяется третьим равенством (9.5.12). Никаких особых достоинств у этих явных представлений в общем-то нет, ибо можно выбрать какие-нибудь другие координаты твисторного пространства, которые позволяют значительно упростить форму выражений (9.5.42). (Используемая здесь в твисторном пространстве стандартная система координат была в свое время введена для лучшей связи со спинорным описанием гл. 6 и никакого особого значения в данный момент не имеет.) Все

существенные свойства содержатся в нормировке (9.5.40) и в установленных нами условиях простоты и действительности; отметим еще один «инвариантный» выбор: можно было взять комплексную точку, представляемую в трубке будущего [см. текст перед формулой (9.3.25)] твистором так что соответствующая прямая в пространстве лежит в а не в